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Di matematica ma non soltanto…

Archive for the ‘filosofia’ Category

Ragione e/o sentimento

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enea e didone

«Grido e brucia il mio cuore senza pace
da quando più non sono
se non cosa in rovina e abbandonata.»
 
(Giuseppe Ungaretti, Cori descrittivi di stati d’animo di Didone, III)
 
 
Ragione “o” sentimento? Ragione “e” sentimento? Cosa lega e cosa divide queste due parole che hanno ispirato poeti, scrittori, filosofi, tra tutti Jane Austen che ha così intitolato il suo romanzo più famoso, Sense and Sensibility, nonché, qualche anno fa, il grande Clint Eastwood dello splendido film I ponti di Madison County, con una fantastica Meryl Streep?
 
Certo, non è affatto facile conciliare ciò che ci dice il cuore e ciò che ci consiglia la mente. E risulta ancor più difficile, una volta che si è rinunciato (vuoi per impossibilità materiale, vuoi per scelta personale) a bilanciarli, la decisione sul percorso da seguire. Il dilemma sta nel capire se, in genere o in un singolo caso particolare, è più proficuo per se stessi lasciarsi guidare dal cuore oppure dal cervello. E non intendo soltanto nelle scelte sentimentali, ma anche in quelle che riguardano i rapporti tra le persone, la famiglia, il proprio futuro.
 
Nei millenni i filosofi si sono spesso arenati sulla possibilità di una ragione priva d’emozione (o viceversa), e sulla facoltà conoscitiva e discriminativa dell’una senza l’altra (o, di nuovo, viceversa). Esiste un divario insanabile fra ragione ed emozione? Sono soltanto due facce della mente? Sono due termini sintetici, che si tengono insieme, in cui l’uno perfeziona l’altro? O sono invece antitetici, e non è dato seguire ambedue contemporaneamente? Rappresentano lo iato, la soluzione di continuità fra il mondo deduttivo e quello induttivo?
 
Rileggevo nei giorni scorsi un riassunto dell’Eneide virgiliana. (No, non il testo completo, e nemmeno in originale…) Ebbene, queste considerazioni che qui vi vado esponendo mi sono state suscitate proprio da una figura che il poeta mantovano tratteggia a tutto tondo nella sua opera più famosa.
 
Devo dire che l’Eneide non l’avevo più ripresa in mano dai tempi del liceo (una quarantina d’anni fa, ahimé); ebbene, sarà che con la maturità certe cose si vedono sicuramente da una prospettiva diversa, ma la storia sottesa al poema mi ha affascinato, quando a scuola invece l’avevo snobbata. E mi ha preso soprattutto, all’interno della storia, un personaggio, entrato a far parte del mito collettivo dei simboli femminili che meglio incarnano determinate caratteristiche: Didone.
 
Didone, regina e perciò donna di potere, che dovrebbe mettere in primo piano il proprio operato politico, finisce con il diventare preda della passione amorosa e del desiderio di rimanere insieme all’amato, quando Enea decide di lasciare Cartagine per proseguire la missione che gli dèi gli hanno assegnato. Viene dilaniata, per la duplicità di cui parlavo all’inizio, dal contrasto tra il sentimento che la porterebbe a seguire Enea e la razionalità che le imporrebbe di restare a Cartagine.
 
Didone incarna perfettamente il modello di donna in conflitto con se stessa, che sente le sue facoltà razionali svanire di fronte all’irrompere del sentimento. Il personaggio virgiliano risolve il contrasto non decidendo tra le due opzioni possibili, e arriva al suicidio in un crescendo di disperazione. Il contrasto risiede essenzialmente nel suo essere umana (femmina?) fino in fondo e nel non riuscire a conciliare questa caratteristica con il suo essere regnante (maschio?) che le imporrebbe di resistere alla passione, mettendo in primo piano i doveri che le impone la sua carica.
 
La regina di Cartagine si svela, quindi, in tutta la sua sostanzialità di donna, prima sedotta e poi abbandonata da un uomo che deve rispondere a un destino più grande. È raro trovare in ambito letterario un altro personaggio femminile che tanto efficacemente presenti e risolva tratti tanto squisitamente umani.
 
Didone rimane e rimarrà per sempre l’emblema di una donna che vive sospesa tra razionalità e sentimento e che non riesce a risolvere questo conflitto in altro modo che non sia quello della liberazione per mezzo della morte. Ma l’eroina virgiliana è anche il simbolo di quella passionalità e di quella intensità emotiva da sempre attribuite all’altra metà del cielo (quella migliore, aggiungo io, riprendendo e modificando la poetica affermazione del presidente Mao…).
 
 
[In testa: Enea e Didone in un affresco pompeiano del I secolo e.v.]

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04-07-2010 at 12:39

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Bertrand Russell – 2 – I “Principia Mathematica”

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TP-PM1

La matematica, e l’aritmetica in particolare, si esprimono normalmente con un linguaggio non formalizzato, come, per esempio, la lingua italiana. Gottlob Frege, verso la fine dell’ottocento, pensò che i problemi e le ambiguità dell’aritmetica derivassero dall’utilizzo di concetti d’uso quotidiano, anziché di termini rigidamente formalizzati. Attuò dunque un’opera di sistematizzazione e formalizzazione della matematica attraverso la sua “traduzione” nella logica. Secondo Frege il sistema formale così risultante sarebbe stato scevro da imperfezioni.
Alla base dell’operazione vi erano questi presupposti: esiste una lingua logica ideale che costituisce la struttura oggettiva del pensiero; il pensiero consiste di connessioni tra oggetti; i numeri sono proprio oggetti di questo tipo e il “contare” consta di connessioni tra tali oggetti. Il “calcolo” sarebbe così riconducibile all’atto primario del pensiero e non necessiterebbe del linguaggio matematico come intermediario; questo va dunque eliminato, riconducendo la matematica alla propria matrice logica.
Frege pubblicò la sua opera, Grundgesetze der Arithmetik, nel 1893. In una lettera di qualche tempo dopo, Russell gli comunicò che i Grundgesetze contenevano una contraddizione, o meglio, un’antinomia, cioè un paradosso logico. La contraddizione era dovuta al paradosso dell’autoreferenza; ecco, in termini assai semplificati, in cosa consiste.
Partiamo dai seguenti concetti: esistono entità logiche denominate “classi” o “insiemi” che raccolgono tutti gli oggetti aventi una certa proprietà (che sono, dunque, suoi “membri” o “elementi”). Definendo una classe si crea anche la classe di tutti gli oggetti residui (rispetto all’“universo”), cioè la classe di tutti gli oggetti che non appartengono a quella appena definita. L’“universo” o “sistema di riferimento” deve essere completo e coerente: completo significa che per ogni oggetto si deve poter dire se appartiene o meno a una data classe; coerente, o non contraddittorio, significa che un oggetto non può contemporaneamente appartenere a una classe e alla classe residua.
Per esempio: sia G la classe che contiene tutti i gatti; tutti gli oggetti che non sono gatti appartengono alla classe ¬G (non G); ogni oggetto appartiene o a G o a ¬G. La classe G, inoltre, non contiene se stessa (e infatti non è certo un gatto!).
Ma se consideriamo, invece, la classe C di tutti i concetti, essendo essa stessa un concetto, contiene se stessa; analogo è il caso della classe di tutte le classi, che ovviamente contiene se stessa; chiamiamo questo tipo di classi (quelle che contengono se stesse come elemento) ad “auto-ingerimento” (secondo la bellissima e poetica definizione di Douglas Hofstadter in Gödel Escher Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante). Ogni classe dell’universo, allora, o è ad “auto-ingerimento” oppure no; creiamo a questo punto un’altra classe, e chiamiamola A: essa conterrà tutte le classi ad “auto-ingerimento”, cioè che contengono se stesse. 
Il paradosso si manifesta quando riflettiamo su ¬A (la classe residua di A): essa contiene se stessa o no? Se tale classe non è membro di se stessa allora è membro di se stessa (per definizione); se invece è membro di se stessa allora non è membro di se stessa (per la stessa definizione); cioè è ad “auto-ingerimento”, se e solo se non è ad “auto-ingerimento”. La deduzione logica porta ad un risultato paradossale e alla violazione delle premesse. Questa è la formalizzazione del notissimo paradosso del barbiere: un barbiere di un paesino rade tutti gli abitanti che non radono se stessi; chiediamoci se il barbiere si rade da solo o no: se si radesse da solo, allora non lo dovrebbe fare, ma se non lo facesse, allora lo dovrebbe fare…
Con i Principia Mathematica, Russell e Whitehead tentarono la stessa operazione di Frege (la formalizzazione logica della matematica, per far sì che essa si fondasse su basi logicamente ineccepibili), evitandone però le contraddizioni. In particolare, il problema della “classe di tutte le classi che non contengono se stesse” venne risolto attraverso la “tipizzazione”. Questa teoria instaura una gerarchia di tipi logici che non può in alcun caso venire infranta. Gli oggetti di una classe sono di un tipo logico inferiore rispetto alla classe che li contiene: “qualunque oggetto che contiene tutti gli elementi di una classe non deve essere esso stesso un termine della stessa classe”. Le classi ad “auto-ingerimento” sono, dunque, “prive di significato”. Una classe di classi, cioè una metaclasse, non è una classe. L’affermazione che “l’insieme di tutti i concetti è esso stesso un concetto” è inutilizzabile, poiché è un concetto di un tipo logico superiore. 
L’opera di sistematizzazione formale e di fondazione logica dei Principia Mathematica riscosse un notevole successo per alcuni decenni, almeno finché non venne unanimemente compresa la portata dei teoremi di Gödel (vedi oltre). Essa aveva la pretesa di costituire un unico sistema che ricomprendesse e organizzasse tutta la matematica. Si poneva, dunque, la questione della completezza e della coerenza di tale sistema; esso è completo se tutti gli enunciati veri della matematica sono derivabili (“ottenibili” e “dimostrabili”) al suo interno; è coerente, o non-contraddittorio, se non possono derivarsi al suo interno enunciati contraddittori, vale a dire una proposizione e contemporaneamente la sua negazione.
Il matematico tedesco David Hilbert lanciò proprio questa sfida (agli inizi del XX secolo, nella lista dei 23 problemi aperti e fondamentali per la scienza) alla comunità dei matematici: dimostrare la completezza e la coerenza dei Principia Mathematica. Ma quali strumenti potevano essere usati per tale scopo? Hilbert propose di usare i metodi esposti nello stesso testo, o meglio, soltanto una parte di essi. In tal modo, innescava una circolarità che avrebbe permesso ai Principia di reggersi da soli. Nessuno riuscì nell’impresa proposta da Hilbert.
E Kurt Gödel, un matematico moravo di lingua tedesca, anzi, dimostrò esattamente il contrario, in un famoso articolo del 1931 intitolato Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e di sistemi affini). In particolare dimostrò due cose: dapprima che “ogni sistema formale analogo all’aritmetica contenuta nei Principia, vale a dire almeno altrettanto potente, o è completo (e allora è incoerente) ovvero è coerente (ma allora è incompleto)”; e, secondariamente, che “nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza”. E la cosa non è tanto una limitazione dei Principia, quanto piuttosto dell’aritmetica stessa (e dei sistemi affini): non è soltanto l’analisi della nozione di numero proposta da Russell e Whitehead a essere incompleta, ma lo sarà anche qualunque analisi effettuata nello stesso stile. Il che significa, a loro scusante, che essi hanno fallito dove nessuno poteva riuscire.
Non si creda, comunque, che il lavoro di Gödel, soprattutto rispetto alla sua seconda conclusione, mini le basi dell’aritmetica (come venne – e viene, purtroppo, tuttora – erroneamente creduto): esso stabilisce semplicemente che la completezza e la coerenza dell’aritmetica non possono essere dimostrate mediante gli assiomi della stessa aritmetica: occorre un’altra teoria, di livello logico superiore.
Un’ultima considerazione sul formalismo adottato da Russell e Whitehead: esso non era una loro invenzione, ma di Giuseppe Peano, che Russell aveva incontrato, rimanendone folgorato, al Congresso internazionale di filosofia, a Parigi, nell’agosto del 1900; ecco come racconta l’avvenimento lo stesso Russell, nella sua autobiografia:
“Il Congresso fu il punto di svolta della mia vita intellettuale, perché vi incontrai Peano. Lo conoscevo già di nome e avevo visto qualche suo lavoro, ma non mi ero preso la briga di imparare il suo formalismo. Al Congresso notai che era sempre il più preciso di tutti, e che sistematicamente aveva la meglio in ogni discussione in cui si imbarcava. Col passare dei giorni, decisi che questo era l’effetto della sua logica matematica. Capii che il suo formalismo era lo strumento di analisi logica che avevo cercato per anni.”
I Principia Mathematica, comunque, non sono un testo di facile lettura, essendo pensato e scritto per specialisti del settore. Più facilmente abbordabile, anche per un lettore non esperto, è invece una sua opera precedente, I principi della matematica, che contiene in nuce i concetti espressi formalisticamente nei Principia. Per dare un esempio dell’estremo formalismo utilizzato da Russell e Whitehead, ecco la dimostrazione che 1 + 1 = 2…principia

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25-05-2010 at 16:40

Bertrand Russell – 1 – La vita

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russell

“L’educazione dovrebbe inculcare l’idea che l’umanità è una sola famiglia con interessi comuni. E che, di conseguenza, la collaborazione è più importante della competizione.”
 
“Tre passioni, semplici ma irresistibili, hanno governato la mia vita: la sete d’amore, la ricerca della conoscenza e una struggente compassione per le sofferenze dell’umanità.”
 
Bertrand Arthur William Russell, terzo conte Russell (Trellech, 18 maggio 1872 – Penrhyndeudraeth, 2 febbraio 1970), è stato un filosofo, logico e matematico inglese (gallese di nascita ma britannico di adozione). Fu anche un autorevole esponente del movimento pacifista e un divulgatore della filosofia. In molti, della mia generazione, abbiamo guardato a Russell come a una sorta di profeta della vita creativa e razionale.
 
Nato ricco e nobile, non accettò nulla della sua posizione privilegiata. Fece più volte l’esperienza del carcere: nel 1918 con un articolo protestò contro la coscrizione obbligatoria e venne condannato a sei mesi di prigione. Il periodo fu proficuo, visto che in carcere riuscì a preparare l’Introduzione alla filosofia della matematica, il nucleo di quella che, scritta insieme ad Albert North Whitehead, sarà la sua opera fondamentale nel settore della logica matematica: i Principia Mathematica (il titolo allude, chissà se volontariamente o meno, all’opera fondamentale di Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), di cui quest’anno ricorrre il centenario della pubblicazione del primo dei tre volumi. Anche in seguito, comunque, il suo spirito ribelle gli creò non pochi problemi, tanto che gli venne negato o ritirato l’incarico di insegnante in parecchie università, in Gran Bretagna e negli Stati uniti.
 
Negli anni immediatamente precedenti la Seconda guerra mondiale fu fautore di una politica di pacificazione, ma poi riconobbe che Hitler doveva essere combattuto, modificando la sua idea di “pacifismo assoluto” in quella di “pacifismo relativo”: egli riteneva che la guerra fosse un male, ma anche che, in circostanze estreme (ad esempio, quando Hitler minacciava di occupare l’Europa intera e di sterminare o ridurre in schiavitù intere etnie considerate inferiori: l’ebrea, la slava, la rom), la guerra stessa potesse essere il male minore. A partire dagli anni cinquanta divenne, assieme ad Albert Einstein, un autorevole sostenitore del disarmo nucleare. Nel 1961 fu di nuovo processato e condannato a una settimana di prigione, in seguito a una manifestazione a Londra contro il proliferare delle armi atomiche (l’immagine in testa si riferisce appunto a quella manifestazione; Russell è indicato da un cerchietto rosso).
 
Vinse nel 1950 il Nobel per la Letteratura “quale riconoscimento ai suoi vari e significativi scritti nei quali egli si erge a campione degli ideali umanitari e della libertà di pensiero”, ma (oltre a quello per la Matematica, inesistente oggi come allora, ma all’epoca non esisteva nemmeno il suo sostituto naturale, la medaglia Fields) avrebbe meritato almeno anche quello per la Pace, che è stato ultimamente regalato a gente che non lo meritava (ancora), pur di non assegnarlo.
 
Sono storiche le sue battaglie per il disarmo nucleare, le manifestazioni da lui organizzate contro il proliferare delle armi atomiche, l’organizzazione (insieme a scienziati del calibro di Albert Einstein, Frédéric Joliot-Curie, Max Born, Leopold Infeld, Léo Szilárd, Hideki Yukawa e così via), della Conferenza di Pugwash per la Scienza e gli Interessi del Mondo (l’organizzazione ricevette poi il premio Nobel per la Pace nel 1995), e storica anche la provocatoria e simbolica fondazione, assieme a Jean-Paul Sartre, del Tribunale internazionale per la pace, che a più riprese condannò gli Stati uniti per la guerra in Vietnam.
 
Fu un logico e matematico sopraffino. Senza il suo lavoro riguardante la logica, non sarebbe esistito probabilmente Wittgenstein (autore di contributi di capitale importanza sulla fondazione della logica e sulla filosofia del linguaggio), del quale fu maestro. Senza i suoi scritti di matematica, alcuni in collaborazione con Whitehead, non avremmo mai avuto la rivoluzione gödeliana.
 
Visse 98 anni, ma non si annoiò davvero mai. Sposò 4 donne (l’ultima a 80 anni), “avendole puntualmente e reiteratamente tradite tutte con altre”. Fu un critico dei dogmi della contemporaneità, dell’oscurantismo conservatore e della moralità corrente. I suoi scritti morali, già negli anni venti, erano tali da far impallidire parecchi di noi sessantottini, che a suo confronto eravamo, forse, bimbi viziati con qualche stralunata presunzione progressista.
 
Fu radicale, liberal ma non liberale, fervente socialdemocratico e amante della libertà, nemico di ogni totalitarismo, incoerente nella sua estrema razionalità.
 
Semplicemente un genio, uno di quegli uomini di cui ogni giovane (e meno giovane…) amante della cultura, della libertà di pensiero e della verità (o meglio, del relativismo della verità) dovrebbe avere in camera un poster appeso (e io ce l’avevo, insieme a quello di Einstein).
 
La sua concezione della razionalità (la teiera spaziale)
 
“Se io sostenessi che tra la Terra e Marte c’è una teiera di porcellana in rivoluzione attorno al Sole lungo un’orbita ellittica, nessuno potrebbe contraddire la mia ipotesi, purché aggiungessi che la teiera è troppo piccola per essere rivelata, sia pure dal più potente dei nostri telescopi. Ma se aggiungessi che – dato che la mia asserzione non può essere confutata – dubitarne sarebbe un’intollerabile presunzione da parte di chi ne dubita, si penserebbe con tutta ragione che sto dicendo fesserie. Se, invece, l’esistenza di una tale teiera venisse affermata in libri antichi, insegnata ogni domenica come sacra verità e instillata nelle menti dei bambini a scuola, l’esitazione nel credere alla sua esistenza diverrebbe un segno di eccentricità e porterebbe il dubbioso all’attenzione dello psichiatra, in un’età illuminata, o dell’Inquisitore, in tempi neanche troppo lontani.”
 
Nel prossimo post vi parlerò più in dettaglio dei Principia Mathematica.

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24-05-2010 at 17:40

Elogio del relativismo

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Quella che il bruco chiama fine del mondo,
il resto del mondo chiama farfalla.

(Lao Tse, filosofo cinese, VI secolo p.e.v.)

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12-10-2009 at 14:52

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I paradossi – 2 – le scienze

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Ricordate il filosofo con il quale abbiamo iniziato questa carrellata sui paradossi? Era il cretese Epimenide, vissuto nel VI secolo p.e.v. Circa un secolo dopo, a Elea (l’attuale Velia in provincia di Salerno) visse un altro filosofo, Zenone, della scuola eleatica appunto. Questi era davvero un bel tomo che si divertiva a creare paradossi atti a dimostrare l’inesistenza di tutto ciò che le persone normali vedono, osservano e sperimentano.

Di paradossi ne ideò una quarantina, almeno a giudicare dalle narrazioni di Platone, Aristotele e Diogene Laerzio; soltanto alcuni sono però giunti fino a noi, anche se è facile pensare che quelli perduti fossero soltanto rielaborazioni di quelli a noi noti.

Ma procediamo con ordine. Zenone era discepolo (nonché “amante”, fisico e spirituale secondo taluni storici) di Parmenide, quello che negava la possibilità del “divenire” e assolutizzava invece la presenza dell’“essere”, in opposizione a Eraclito, per il quale, al contrario, “tutto si trasforma” e “nello stesso fiume non ti bagnerai due volte” (si veda qui un mio post di molto tempo fa, a proposito di questa diatriba).

Insomma, Zenone, per dar corpo alla teoria di Parmenide sull’impossibilità del divenire, decise di dimostrare innanzitutto l’inesistenza dello spazio e del tempo e l’impossibilità del moto. Il più famoso paradosso di Zenone è sicuramente quello che riguarda pié veloce Achille e la tartaruga. In una corsa tra questi due personaggi, se Achille concede alla tartaruga un qualunque vantaggio, non riuscirà mai a raggiungerla, perché deve prima percorrere la distanza che le ha concesso di vantaggio, ma nel frattempo essa ha percorso un nuovo tratto, che Achille dovrà colmare, e così via.

L’essenza del ragionamento zenoniano è presente in forma più pura in altri due paradossi simmetrici: è impossibile sia partire che arrivare. Infatti, per arrivare in un luogo è necessario arrivare prima a metà della distanza, poi a metà del percorso rimanente, e così via. E per partire è necessario percorrere qualche distanza, ma prima si deve percorrerne la metà, e prima ancora metà della sua metà, e così via. Zenone mostrò infine che è impossibile essere in viaggio, usando anche in questo caso una efficace immagine letteraria: una freccia non può volare. Infatti in ogni istante essa è ferma, mentre il moto è una successione di movimenti.

Quest’ultimo paradosso è complementare ai tre precedenti. Mentre quelli si basano sull’infinita divisibilità di spazio e tempo, questo si appella all’indivisibilità di punti e istanti. In tal modo gli argomenti eleatici della impossibilità del moto coprivano entrambe le possibilità e permettevano di evitare assunzioni metafisiche sulla natura dello spazio e del tempo.

Questi argomenti erano ovviamente noti ad Aristotele, che nella Metafisica dichiara che non si può dimostrare o definire tutto, perché in tal caso si procederebbe all’infinito e non ci sarebbe nessuna dimostrazione o definizione. La via d’uscita proposta da Aristotele, e adottata dai matematici a partire da Euclide, è il metodo assiomatico. In termini chiarificatori: le dimostrazioni vanno basate su asserzioni non dimostrate (gli assiomi) e le definizioni su termini non definiti (le nozioni primitive).

Per quanto riguarda invece i paradossi di Zenone sulla continuità dello spazio e del tempo, Aristotele pensava che la soluzione risiedesse in una distinzione fra infinito attuale e potenziale. Nella Fisica egli sostenne infatti che l’infinita divisibilità potenziale di un segmento non è contradditoria. Solo una infinità attuale di punti non si può percorrere fisicamente. In effetti sostenne che una somma di infiniti addendi non nulli può essere finita. Ovvero, come dicono i matematici oggi, che la somma di una serie infinita può convergere ad un valore finito. E Archimede era ben riuscito a calcolare le somme di alcune serie infinite, per ottenere i suoi famosi risultati su aree e volumi, come l’area del cerchio, ad esempio.

Fu però Gregorio di San Vincenzo ad introdurre per primo, nell’Opus geometricum, il concetto di convergenza di una serie infinita come limite delle somme parziali. Egli applicò immediatamente la nuova nozione al paradosso di Zenone (quello sull’impossibilità di arrivare in qualsiasi luogo), sostenendo che l’uguaglianza

½ + ¼ + ⅛ + … = 1

ne costituiva la soluzione. La somma “finita” della serie “infinita” mostra infatti che sommando ogni volta la metà dello spazio rimanente, si arriva al traguardo, anche se gli addendi sono infiniti…

Sempre proposito di convergenza e divergenza di serie infinite non si può sottacere un “paradosso” veramente intrigante: si prenda la metà di un ramo di un’iperbole (la cui equazione è y = 1/x, prendendo la parte per x ≥ 1) e la si faccia ruotare intorno all’asse delle ascisse. La figura che così si ottiene:

tromba di torricelli

detta anche “tromba di Torricelli” o “tromba di Gabriele” ha una caratteristica davvero singolare: questo solido ha infatti un volume finito, ma una superficie esterna infinita! Il che significa, pensandolo come un recipiente, che lo si potrebbe riempire di vernice, ma non si potrebbe pitturarlo! O, pensandolo come una torta, che si potrebbe mangiarla intera, ma non a fette!

In effetti, l’infinitezza della superficie dipende dalla non convergenza della somma della serie

formula1

Mentre la finitezza del suo volume dipende dalla convergenza della somma della serie

formula2
Grazie alla tecnica del calcolo infinitesimale, che consiste nell’espandere funzioni in serie, e poi differenziarle o integrarle termine a termine, la nozione di somma infinita cessò poco a poco di essere considerata paradossale, e gradualmente si accettò l’idea che potesse corrisponderle un valore finito. Non senza discussioni, però. Le più accese delle quali furono generate dalla serie alternata

1 – 1 + 1 – 1 + …

Ridisponendo in modi diversi le parentesi, essa provoca infatti il paradosso alquanto indisponente che

0 = (1 – 1) + (1 – 1) + … = 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + … = 1

Il matematico italiano Luigi Guido Grandi andò però oltre, e dalla formula generica per ottenere la somma dei termini delle progressioni geometriche

formula3

dedusse, ponendo x = – 1, che

½ = 1 – 1 + 1 – 1 + … !

Leibniz sostenne che questo era effettivamente il vero valore della serie, sulla base del fatto che le somme parziali alternano 1 e 0, e il valore più probabile è dunque la loro media aritmetica. Un ragionamento che, giustamente, egli ammise essere più metafisico che matematico. Aggiungendo, però, che la matematica era comunque più metafisica di quanto si ammettesse…

Eulero, a sua volta, concordò sul fatto che ½ fosse il vero valore della serie, con la diversa motivazione che il ragionamento di Grandi riduceva la serie infinita ad una formula finita, e che questo era il modo corretto di dar senso alle serie infinite. Egli si lasciò però prendere la mano dall’entusiasmo e notò che, ponendo x = 2 nella formula precedente, si ottiene l’ancor più eccitante paradosso:

– 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + …

in cui la somma di infiniti numeri positivi è un numero negativo!

L’idea di Eulero di ridurre le serie infinite a formule finite era ambigua. Una stessa serie può infatti corrispondere a più formule differenti, come mostra

formula4

da cui si può dedurre il valore 1/3 per la solita serie alternata. Questi argomenti, oggi incredibili, sono naturalmente da valutare in prospettiva. I paradossi da essi generati permisero però di arrivare alla definizione precisa di somma di una serie, come limite delle somme parziali, e al convincimento che le ambiguità precedenti derivano appunto dal voler assegnare una somma definita a serie divergenti (cioè tendenti a ±∞, ovvero non tendenti a un valore fisso).

E non si pensi che i paradossi siano una peculiarità della matematica, stante il fatto che alcuni pensano che essa sia soltanto una creazione della mente. Che lo spazio sia un concetto relativo credo possiamo essere tutti d’accordo, colti e meno colti, intelligenti o meno. Siamo, però, molto meno disposti ad accettare la relatività del tempo, che fino all’Ottocento anche la scienza considerava non solo oggettivo, ma uniforme e universale. Le cose cambiarono nel 1905, quando Albert Einstein mostrò che una nozione di tempo misurata da orologi identici non può essere né uniforme, né universale.

Lo scorrere del tempo individuale di un osservatore, misurato dal suo orologio, appare infatti agli altri osservatori tanto più lento quanto più la sua velocità rispetto a essi è prossima a quella della luce. E i vari tempi individuali si possono sincronizzare soltanto parzialmente. In particolare, due eventi non legati da un rapporto causa-effetto possono apparire in un certo ordine temporale rispetto a un osservatore, e nell’ordine opposto rispetto a un altro.

Già nel suo articolo originario, Einstein si accorse che questo stato di cose genera un vero e proprio paradosso, che è forse il più noto fra tutti quelli della fisica moderna. Eccolo nella sua formulazione originaria, in Zur Elektrodynamik bewegter Körper (Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento), il lavoro che gli fruttò il premio Nobel nel 1921:

«Se si trovano in A due orologi sincroni e si muove uno di essi con velocità costante v su una curva chiusa, finché ritorna in A dopo t secondi, quest’ultimo orologio al suo arrivo in A si trova, rispetto all’orologio rimasto immobile, in ritardo di

formula5

secondi. Dunque, un orologio che si trovi all’equatore deve procedere un po’ più lentamente che un orologio, uguale e posto nelle stesse condizioni, che si trovi a un polo.»

Se si sostituiscono i due orologi con due gemelli si ottiene l’ancor più sorprendente paradosso che se uno dei due parte per un viaggio, al suo ritorno è più giovane di quello che è rimasto. Ovvero, viaggiare aiuta a mantenersi giovani.

Naturalmente, tutto dipende dalla durata del viaggio e dalla sua velocità (e per nulla, come si potrebbe invece immaginare, dalla compagnia o dal paesaggio…). Dalla formuletta di Einstein si ricava, ad esempio, che se uno dei gemelli viaggia ad una velocità (v) pari a quattro quinti di quella della luce (c), il suo viaggio dura circa un terzo di meno dell’attesa del fratello. Dopo un viaggio di quindici anni, dunque, il viaggiatore troverebbe il fratello rimasto a casa più vecchio di lui di cinque anni.

Il paradosso dei gemelli contiene un problema tecnico, per gli addetti ai lavori. Dal principio di relatività dovrebbe infatti discendere che la situazione è simmetrica per i due gemelli. Dunque anche quello che è rimasto a casa dovrebbe trovare il fratello più vecchio di lui di cinque anni. Questo problema si risolve dimostrando che in realtà i sistemi di riferimento dei due gemelli non sono equivalenti, e che le distanze spazio-temporali percorse da ciascuno nel sistema di riferimento dell’altro non sono uguali.

La dilatazione dei tempi per i viaggiatori sarà paradossale, ma non per questo è meno reale. Le conferme sperimentali sono ormai innumerevoli e dimostrano che effettivamente il tempo scorre diversamente per osservatori diversi.

Naturalmente, la dilatazione dei tempi non è l’unico effetto paradossale prodotto da un aumento di velocità fino a valori elevati. Sempre Einstein dimostrò che a velocità comparabili con quelle della luce si ha una dilatazione della massa e una contrazione della lunghezza nel senso del moto. Vale a dire che viaggiando, oltre a mantenersi giovani, si aumenta di peso, però ci si snellisce…

(2 – Fine. La puntata precedente è stata postata qui)

Written by matemauro

11-05-2009 at 22:36

I paradossi – 1 – la logica, l’arte, il linguaggio

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«This was sometime a paradox, but now the time gives it proof»
«Questo un tempo pareva un paradosso, ma ora i tempi provano che è vero.»

Così afferma Shakespeare (Amleto, atto III, scena I) per bocca di Amleto a Ofelia, subito dopo il celebre monologo dell’“Essere o non essere”.

Ovviamente il sommo Bardo si riferisce all’amore, soggetto del quale in questi post dedicati ai paradossi non mi occuperò affatto… parlerò invece dei paradossi nella storia della logica, dell’arte, della matematica e, en passant, di qualche altra branca della scienza.

Cominciamo con il definire cos’è un paradosso; innanzitutto il vocabolo deriva dal greco παράδοξος, “oltre l’opinione comune”. E poiché gli individui possono anche essere intelligenti e colti, ma le masse sono sicuramente beote e ignoranti, l’opinione comune è quasi sempre sbagliata. Dunque, i paradossi sono quasi sempre pure e semplici verità, e il tempo si diverte a sollevare i lembi del velo che le nasconde. Il che significa che ambiguità, rompicapi, dilemmi, enigmi, misteri, illusioni, inganni, abbagli, sbagli, inconsistenze, contraddizioni e assurdità spesso si risolvono e, risolvendosi, si trasformano in curiosità e sottigliezze, quando non addirittura in teoremi.

Secondo il filosofo britannico Mark Sainsbury, il paradosso è «una conclusione apparentemente inaccettabile, che deriva da premesse apparentemente accettabili per mezzo di un ragionamento apparentemente accettabile».

E tale in effetti dovette apparire ai greci il primo paradosso di cui si abbia notizia certa: quello di Epimenide il cretese, il quale ebbe a dire la seguente frase:

«I cretesi sono bugiardi».

Ora, tale frase, se presa nel senso comune, non sembra pericolosa. Ma proviamo invece a intendere come “bugiardo” qualcuno che menta sempre e  per “i cretesi” tutti i cretesi; tenendo conto che Epimenide era cretese, come si risolve la questione, dato che, in quanto cretese è mentitore? In realtà questo non è un vero e proprio paradosso, risolvendosi rapidamente la questione con l’ipotesi che esista almeno un cretese che dice la verità, e costui non è certo Epidemide…

Eubulide di Megara modificò leggermente la frase di Epidemide, trasformandola in un vero e proprio paradosso. L’affermazione di Eubulide fu:

«Io sto mentendo».

La frase è vera o no? Se fosse vera, sarebbe falsa, e se fosse falsa sarebbe vera… Vera? Ma, un momento, a proposito di verità: se io scrivessi

“Questa frase è falsa”

la frase appena scritta sarebbe vera o no? Vedete bene che non se ne esce facilmente. È interessante che questo tipo di paradosso può essere creato anche a più livelli. Per esempio, è di Buridano la versione a due livelli. Secondo costui:

«Socrate afferma: “Platone dice il falso”; contemporaneamente Platone dice: “Socrate dice il vero”».

Questo è un “paradosso del mentitore” (così viene chiamato questo tipo di antinomia) a due livelli, così come quello fornito dal matematico britannico Philip Jourdain:

«“La frase seguente è falsa”
“La frase precedente è vera”».

Ma i livelli possono aumentare, fino all’infinito; è del filosofo statunitense Stephen Yablo la sequenza senza fine di frasi:

«“Tutte le frasi successive sono false”
“Tutte le frasi successive sono false”
“Tutte le frasi successive sono false”

e così via».

Come si vede, dunque, non sempre è facile distinguere tra verità e menzogna, in ambito logico… e non solo. Si pensi, per esempio, al fatto che in italiano (e in molte altre lingue) non esiste una sola parola per definire il concetto di “dire il vero”: bisogna sempre ricorrere a una perifrasi, mentre invece in tutte le lingue esiste una parola che sottintende il concetto di “mentire”…

D’altronde, di menzogne è piena la realtà quotidiana: mentono le costituzioni, che garantiscono diritti «a meno delle disposizioni di legge»; i codici, che inventano finzioni giuridiche; governanti, diplomatici e spie, per ragion di Stato; gli avvocati, per ragioni di diritto; i testimoni, pur giurando di dire «la verità, tutta la verità, nient’altro che la verità»; i giornalisti, per fare notizia o propaganda; politici, preti e commercianti, per ingannare elettori, fedeli e clienti; genitori e insegnanti, raccontando favole e miti ai bambini; i bambini, per tacitare genitori ed insegnanti; donne e uomini, truccandosi per sembrare più giovani; coniugi e amanti, per tradire sembrando fedeli; gli sportivi, drogandosi per vincere; e così via.

Il popolo yiddish (gli ebrei della diaspora) sa benissimo quando e come conviene mentire; questa è una storiella narrata da Siegmund Freud, ripresa in seguito da Jorge Luis Borges e riportata recentemente anche da Moni Ovadia:

«Due commercianti, Moshe e Daniel, nel mezzo della sconfinata pianura russa, si salutano:
– Dove vai, Daniel? – dice uno.
– A Sebastopoli – dice l’altro.
Allora Moshe lo guarda negli occhi per qualche istante e poi esclama:
– Tu stai mentendo, Daniel. Mi dici che vai a Sebastopoli perché io pensi che tu vada a Nižnij-Novgorod, ma la verità è che tu vai davvero a Sebastopoli. Tu menti, Daniel!»

Fu già nel Medioevo, comunque, che si capì come poter risolvere il paradosso del mentitore: ci aveva provato, in realtà, già Aristotele nella Metafisica, affermando che le frasi contraddittorie non sono “ben formate”; la sua soluzione, però, non è totalmente soddisfacente, come dimostrò Willard Quine, creando una frase “ben formata” che continuava a essere contraddittoria.

Fu poi la volta di diversi autori, che tentarono di distinguere tra “uso” e“menzione”. Per chiarire, prendiamo le due frasi:

Un monosillabo consiste di sei sillabe.
“Un monosillabo” consiste di sei sillabe.

Nella prima (falsa) si “usano” le parole “Un monosillabo”, nella seconda (vera) se ne fa “menzione”. Ma sempre Quine riuscì a costruire (con un procedimento analogo a quello di Gödel, di cui ho parlato in questo post) una frase con “menzione” che conteneva un paradosso.

La soluzione corretta, invece, è quella di Guglielmo di Occam, nella Summa Logicae, il quale sostiene che, quando una frase parla di verità e di falsità, può soltanto riferirsi ad altre frasi, e non a se stessa. La soluzione di Occam è importante, perché introduce la nozione di “diversi  livelli” nel linguaggio, dove ogni meta-linguaggio parla di verità o falsità di frasi che stanno a un livello “inferiore” (analogamente a ciò che deriva, per la matematica, dalle considerazioni di Gödel).

Una soluzione diversa è quella di imputare i problemi non al linguaggio, ma alla logica che a esso sottintende. Questa considerazione ha portato all’introduzione di logiche di tipo non binario (nelle quali gli unici valori ammissibili sono “vero” e “falso”): e così sono state inventate delle logiche “a più valori” (del tipo “sì”, “no”, “ni”), “temporali” (il valore di verità dipende dal tempo), “costruttive” (in cui non è possibile dimostrare la disgiunzione di due proprietà senza poterne dimostrare una delle due) ecc.

Il bello di questi paradossi logici è che essi possono essere realizzati anche in ambito artistico; cos’è se non l’analogo del “paradosso del mentitore” questo quadro di René Magritte?

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Ancora in ambito figurativo, un “quasi” paradosso è questo disegno di M.C. Escher:

Photobucket

Per essere un vero e proprio paradosso, sarebbe più corretto che una mano cancellasse mentre l’altra disegna…

Oppure, in ambito musicale, John Cage che affermò di non aver nulla da dire e lo disse con un brano (per pianoforte…) di 4’33” di totale silenzio?

E ancora, in ambito letterario, Denis Diderot che scrive un racconto dal titolo Questo non è un racconto, non sta esprimendo in altra forma il paradosso del mentitore?

In genere, quando gli artisti moderni si esprimono in questi termini, si dà loro degli squilibrati. Proprio in questo senso investigò lo psicologo statunitense Gregory Bateson. Questi introdusse il concetto di “doppio vincolo”, in riferimento al paradosso espresso dalla seguente storiella:

«In una caserma, il colonnello chiama a sé il barbiere (un soldato semplice) e gli dà il seguente ordine perentorio:
– Da oggi in poi, dovrai radere tutti coloro che non si radono da soli!»

Oltre all’ordine paradossale, gli elementi fondamentali aggiuntivi sono il rapporto di rigida subordinazione del soldato all’ufficiale e l’impossibilità di uscire dalla contraddizione mettendo in discussione la consistenza dell’ordine stesso. Secondo Bateson, è appunto l’esposizione a doppi vincoli di questo genere che provoca in chi li subisce, soprattutto da bambino in famiglia o in collegi, un’incapacità di distinguere fra linguaggio e metalinguaggio, e la conseguente schizofrenia.

Le vie d’uscita patologiche da questa situazione di stress, secondo Bateson, sono tre:

a) L’ebefrenia, in cui si rifiuta il metalinguaggio e ci si limita all’aspetto puramente letterale della comunicazione. Un esempio di questo atteggiamento è quello del protagonista del romanzo Il buon soldato Švejk di Jaroslav Hašek (che ho ricordato in questo post), che interpreta tutti gli ordini, per quanto insensati, in maniera letterale.

b) La paranoia, in cui si rifiuta il linguaggio e ci si dedica alla continua ricerca di significati reconditi al di là di esso. Un esempio simmetrico al precedente è quello del protagonista del film Comma 22 di Joseph Heller, che interpreta tutti gli ordini, per assurdi che siano, in maniera metaforica.

c) La catatonia, in cui si rifiutano entrambi i livelli precedenti e ci si chiude alla comunicazione nell’inattività, fino all’autismo, o nell’iperattività. È infatti un apparente paradosso che chi è troppo occupato non ha, appunto, il tempo di far niente. In particolare, di stare a sentire gli altri.

Ma tutti questi “paradossi” sono strettamente legati alla nostra filosofia occidentale. In Oriente, dove la logica seguì fin dall’inizio altre strade, il paradosso è stato pienamente accettato ed è addirittura divenuto la base di filosofie come il taoismo e il buddismo.

Lao Tze apre il Tao Tze Ching, primo classico del taoismo, con l’affermazione: «Il Tao di cui si parla non è il vero Tao». E lo conclude dicendo: «Chi sa non parla, chi parla non sa». Naturalmente, ciò che sta in mezzo procede sullo stesso tono: «La verità è paradossale». Con queste premesse, cercare di capire positivamente cosa sia il Tao è impossibile, essendo esso indicidibile ed ineffabile. Dunque, invece di trattati filosofici, il taoismo ha prodotto raccolte di aforismi e aneddoti, con l’intento di mostrare con esempi ciò che non si può esprimere con parole, dato che non si può distinguere la realtà dal sogno, e dunque neppure la verità dalla falsità. Anzi, non si può distinguere proprio niente, come dichiara esplicitamente il titolo di un capitolo: “L’uguaglianza di tutte le cose”.

Su queste premesse, il taoismo sviluppò un pensiero che considerava gli opposti non contradditori, come nella logica occidentale, ma complementari. Il Tao fu identificato con la loro combinazione, vista come metafora dell’incessante avvicendarsi delle stagioni e delle vite, e venne rappresentato con il t’ai-chi, “trave maestra”, simbolo dell’unione di yin e yang (l’elemento maschile e quello femminile):

yin yang

I taoisti hanno inventato la tecnica del koan (letteralmente “avviso pubblico” o “ordinanza di legge”), che dall’esterno appare come una vera e propria insensatezza (e, magari, lo è per davvero). Il suo scopo è quello di stimolare il raggiungimento dell’illuminazione presentando problemi paradossali che, non potendosi risolvere secondo la logica convenzionale, dovrebbero cortocircuitare il pensiero razionale. Ecco alcuni famosi koan:

«Che suono fa un applauso a una mano sola?»

«Che faccia avevi prima di essere concepito?»

«Un cane ha la natura di Budda?»

«Se sei così libero, perché hai tutti questi impegni?»

«Rispondi a questa domanda!»

Inutile dire che, se non ci si pensa, non si arriva alla risposta. E se ci si pensa, nemmeno. Se però si arriva ugualmente a una risposta, è sbagliata. E chi dice che ha capito, non ha capito. Insomma, non c’è via d’uscita, se non quella di accettare che ci siano domande senza risposta. Il che, toh!, è anche uno dei grandi risultati della logica moderna.

(Fine 1ª parte)

Written by matemauro

07-05-2009 at 19:26

Ipazia di Alessandria

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ipazia

Ipazia (Alessandria d’Egitto, 370 – Alessandria d’Egitto, 415) fu una matematica, astronoma e filosofa ellenistica pagana.

Non sono molte le donne che hanno avuto la possibilità di distinguersi nella scienza (e non solo in essa), considerata fino a non molto tempo fa appannaggio esclusivo dell’universo maschile; molte hanno dovuto pagare con la vita questa passione, quasi fosse una colpa della quale vergognarsi. Una donna che con le sue ricerche potesse superare, o peggio inficiare, i risultati ottenuti dai colleghi maschi era ritenuta una presuntuosa, se non molto peggio.

Ipazia fu figlia di Teone di Alessandria, ultimo membro conosciuto del Museo, presso il quale si trovava la celebre Biblioteca. Fu il padre a indirizzarla verso gli studi dell’astronomia, della matematica, della filosofia e delle scienze in genere; sebbene donna, insegnò pubblicamente filosofia; appartenne alla corrente neoplatonica. Ottenne il rispetto di tutti per la sua sapienza ed ebbe una notevole influenza politica sulla città, e in particolare sul prefetto imperiale, Oreste. Tra i suoi allievi ci fu Sinesio di Cirene, vescovo di Tolemaide, che le scrisse numerose lettere, testimoniandole grande ammirazione.

Le fonti le attribuiscono alcune opere, oggi perdute: un Canone astronomico e un Commentario sull’Almagesto di Tolomeo, completamento o redazione editoriale di un’opera del padre (astronomia); un Commentario sull’Arithmetica di Diofanto di Alessandria (matematica); un Commentario sulle Coniche di Apollonio di Perga (geometria). È certo che abbia scritto anche altre opere di cui non ci è pervenuto nulla a causa della loro distruzione da parte dei seguaci del vescovo Cirillo.

Una figura affascinante, studiosa di astronomia, matematica, scienze e filosofia. Deteneva la cattedra della scuola neoplatonica e parlava pubblicamente: una rivoluzionaria per i suoi tempi, in cui il cristianesimo, da religione di stato dell’Impero romano si era trasformato nell’unica religione permessa. I vescovi si permettevano di distruggere i templi pagani, di depredarne le opere d’arte e bruciarne le grandi biblioteche. Così era accaduto alla Biblioteca di Alessandria, e Ipazia aveva urlato contro il sapere che si era perduto. In un clima sempre più intollerante, il vescovo di Alessandria, Cirillo, andando contro il prefetto imperiale Oreste, inneggiava all’intolleranza, aizzava il popolino contro i giudei, che costrinse all’esilio dalla città egiziana, e infine, nulla fece per impedire l’assassinio di Ipazia. Anzi, fu lui stesso il mandante, in quanto gli assassini erano monaci della sua corte privata. Ipazia fu trascinata via, portata in una chiesa e lì uccisa barbaramente con armi di conchiglia e coltelli, fatta a pezzi, cavatele gli occhi, le sue membra furono portate altrove, arse e le ceneri sparse per la città di Alessandria.

La figura di Ipazia ha affascinato i letterati di ogni epoca, e se Socrate Scolastico e Damascio lanciarono pesantissime accuse ai danni di Cirillo, vi furono autori che difesero spudoratamente il vescovo cristiano. Per esempio, Giovanni di Nikiu, che considerò il linciaggio una meritata punizione: "Ipazia inotizzava i suoi studenti con la magia e si dedicava alla satanica scienza degli astri. […] Tutta la popolazione circondò il patriarca Cirillo e lo chiamò nuovo Teofilo, perché aveva liberato la città dagli ultimi idoli".

Anche Voltaire parlò di Ipazia nelle Questions sur l’Éncyclopédie, sottolineandone l’ingiusta condanna. E Vincenzo Monti:

[…]
Oh! squarciatemi il velo, e l’inumana
storia m’aprite di que’ vili astuti;
date agli occhi di pianto una fontana!

La voce alzate, o secoli caduti!
Gridi l’Africa all’Asia, e l’innocente
ombra d’Ipazia il grido orrendo aiuti.

Gridi irata l’Aurora all’Occidente,
narri le stragi dall’altare uscite;
e l’Occaso risponda all’Oriente.
[…]
(V. Monti, Poesie, Il fanatismo)

Il poeta pagano Pallada le dedicò un epigramma:

Quando ti vedo mi prostro, davanti a te e
alle tue parole, vedendo la casa astrale
della vergine, infatti verso il cielo è
rivolto ogni tuo atto Ipazia sacra,
bellezza della parola, astro
incontaminato della sapiente cultura.

Ora, tralasciamo pure il fatto che il vescovo Cirillo sia stato nominato santo, che sia pure dottore della Chiesa, che la Chiesa accetti come vera l’unica fonte, di tutte le fonti storiche, che rappresenta Ipazia come una strega, incantatrice, meretrice, lesbica e pedofila (e anzi, la stessa fonte usa i due termini come sinonimi, si vede che non c’hanno proprio mai capito una mazza…). In fondo a chi importa nel 2008 di una donna assassinata intorno al 415? Infedele per di più? Già…

Tralasciamo che il cristianesimo sarebbe la religione dell’amore, che il detto "occhio per occhio…" è nell’Antico, e non nel Nuovo Testamento. Sforziamoci di comprendere, di capire, di voler andare incontro a Cirillo, le ragioni storiche del periodo, del tempo, dell’ambiente, la voglia di rivalsa contro i pagani, contro i deicidi giudei, contro i filosofi ellenistici, la distruzione di tutti gli scritti di Ipazia, operata per volere di Cirillo stesso.

Ma che il 3 ottobre 2007, Benedetto XVI se ne sia uscito, nell’udienza generale di Piazza San Pietro, dopo aver lungamente parlato dell’operato dottrinale di Cirillo con un "Di Gesù Cristo, Verbo di Dio incarnato, san Cirillo di Alessandria è stato un instancabile e fermo testimone…" questo proprio no, non mi sforzo di comprendere.

[Nell’immagine, particolare della Scuola di Atene, di Raffaello; Ipazia vi è raffigurata con le sembianze di Francesco Maria della Rovere.]

Written by matemauro

17-07-2008 at 16:07