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Di matematica ma non soltanto…

Bertrand Russell – 2 – I “Principia Mathematica”

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La matematica, e l’aritmetica in particolare, si esprimono normalmente con un linguaggio non formalizzato, come, per esempio, la lingua italiana. Gottlob Frege, verso la fine dell’ottocento, pensò che i problemi e le ambiguità dell’aritmetica derivassero dall’utilizzo di concetti d’uso quotidiano, anziché di termini rigidamente formalizzati. Attuò dunque un’opera di sistematizzazione e formalizzazione della matematica attraverso la sua “traduzione” nella logica. Secondo Frege il sistema formale così risultante sarebbe stato scevro da imperfezioni.
Alla base dell’operazione vi erano questi presupposti: esiste una lingua logica ideale che costituisce la struttura oggettiva del pensiero; il pensiero consiste di connessioni tra oggetti; i numeri sono proprio oggetti di questo tipo e il “contare” consta di connessioni tra tali oggetti. Il “calcolo” sarebbe così riconducibile all’atto primario del pensiero e non necessiterebbe del linguaggio matematico come intermediario; questo va dunque eliminato, riconducendo la matematica alla propria matrice logica.
Frege pubblicò la sua opera, Grundgesetze der Arithmetik, nel 1893. In una lettera di qualche tempo dopo, Russell gli comunicò che i Grundgesetze contenevano una contraddizione, o meglio, un’antinomia, cioè un paradosso logico. La contraddizione era dovuta al paradosso dell’autoreferenza; ecco, in termini assai semplificati, in cosa consiste.
Partiamo dai seguenti concetti: esistono entità logiche denominate “classi” o “insiemi” che raccolgono tutti gli oggetti aventi una certa proprietà (che sono, dunque, suoi “membri” o “elementi”). Definendo una classe si crea anche la classe di tutti gli oggetti residui (rispetto all’“universo”), cioè la classe di tutti gli oggetti che non appartengono a quella appena definita. L’“universo” o “sistema di riferimento” deve essere completo e coerente: completo significa che per ogni oggetto si deve poter dire se appartiene o meno a una data classe; coerente, o non contraddittorio, significa che un oggetto non può contemporaneamente appartenere a una classe e alla classe residua.
Per esempio: sia G la classe che contiene tutti i gatti; tutti gli oggetti che non sono gatti appartengono alla classe ¬G (non G); ogni oggetto appartiene o a G o a ¬G. La classe G, inoltre, non contiene se stessa (e infatti non è certo un gatto!).
Ma se consideriamo, invece, la classe C di tutti i concetti, essendo essa stessa un concetto, contiene se stessa; analogo è il caso della classe di tutte le classi, che ovviamente contiene se stessa; chiamiamo questo tipo di classi (quelle che contengono se stesse come elemento) ad “auto-ingerimento” (secondo la bellissima e poetica definizione di Douglas Hofstadter in Gödel Escher Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante). Ogni classe dell’universo, allora, o è ad “auto-ingerimento” oppure no; creiamo a questo punto un’altra classe, e chiamiamola A: essa conterrà tutte le classi ad “auto-ingerimento”, cioè che contengono se stesse. 
Il paradosso si manifesta quando riflettiamo su ¬A (la classe residua di A): essa contiene se stessa o no? Se tale classe non è membro di se stessa allora è membro di se stessa (per definizione); se invece è membro di se stessa allora non è membro di se stessa (per la stessa definizione); cioè è ad “auto-ingerimento”, se e solo se non è ad “auto-ingerimento”. La deduzione logica porta ad un risultato paradossale e alla violazione delle premesse. Questa è la formalizzazione del notissimo paradosso del barbiere: un barbiere di un paesino rade tutti gli abitanti che non radono se stessi; chiediamoci se il barbiere si rade da solo o no: se si radesse da solo, allora non lo dovrebbe fare, ma se non lo facesse, allora lo dovrebbe fare…
Con i Principia Mathematica, Russell e Whitehead tentarono la stessa operazione di Frege (la formalizzazione logica della matematica, per far sì che essa si fondasse su basi logicamente ineccepibili), evitandone però le contraddizioni. In particolare, il problema della “classe di tutte le classi che non contengono se stesse” venne risolto attraverso la “tipizzazione”. Questa teoria instaura una gerarchia di tipi logici che non può in alcun caso venire infranta. Gli oggetti di una classe sono di un tipo logico inferiore rispetto alla classe che li contiene: “qualunque oggetto che contiene tutti gli elementi di una classe non deve essere esso stesso un termine della stessa classe”. Le classi ad “auto-ingerimento” sono, dunque, “prive di significato”. Una classe di classi, cioè una metaclasse, non è una classe. L’affermazione che “l’insieme di tutti i concetti è esso stesso un concetto” è inutilizzabile, poiché è un concetto di un tipo logico superiore. 
L’opera di sistematizzazione formale e di fondazione logica dei Principia Mathematica riscosse un notevole successo per alcuni decenni, almeno finché non venne unanimemente compresa la portata dei teoremi di Gödel (vedi oltre). Essa aveva la pretesa di costituire un unico sistema che ricomprendesse e organizzasse tutta la matematica. Si poneva, dunque, la questione della completezza e della coerenza di tale sistema; esso è completo se tutti gli enunciati veri della matematica sono derivabili (“ottenibili” e “dimostrabili”) al suo interno; è coerente, o non-contraddittorio, se non possono derivarsi al suo interno enunciati contraddittori, vale a dire una proposizione e contemporaneamente la sua negazione.
Il matematico tedesco David Hilbert lanciò proprio questa sfida (agli inizi del XX secolo, nella lista dei 23 problemi aperti e fondamentali per la scienza) alla comunità dei matematici: dimostrare la completezza e la coerenza dei Principia Mathematica. Ma quali strumenti potevano essere usati per tale scopo? Hilbert propose di usare i metodi esposti nello stesso testo, o meglio, soltanto una parte di essi. In tal modo, innescava una circolarità che avrebbe permesso ai Principia di reggersi da soli. Nessuno riuscì nell’impresa proposta da Hilbert.
E Kurt Gödel, un matematico moravo di lingua tedesca, anzi, dimostrò esattamente il contrario, in un famoso articolo del 1931 intitolato Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e di sistemi affini). In particolare dimostrò due cose: dapprima che “ogni sistema formale analogo all’aritmetica contenuta nei Principia, vale a dire almeno altrettanto potente, o è completo (e allora è incoerente) ovvero è coerente (ma allora è incompleto)”; e, secondariamente, che “nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza”. E la cosa non è tanto una limitazione dei Principia, quanto piuttosto dell’aritmetica stessa (e dei sistemi affini): non è soltanto l’analisi della nozione di numero proposta da Russell e Whitehead a essere incompleta, ma lo sarà anche qualunque analisi effettuata nello stesso stile. Il che significa, a loro scusante, che essi hanno fallito dove nessuno poteva riuscire.
Non si creda, comunque, che il lavoro di Gödel, soprattutto rispetto alla sua seconda conclusione, mini le basi dell’aritmetica (come venne – e viene, purtroppo, tuttora – erroneamente creduto): esso stabilisce semplicemente che la completezza e la coerenza dell’aritmetica non possono essere dimostrate mediante gli assiomi della stessa aritmetica: occorre un’altra teoria, di livello logico superiore.
Un’ultima considerazione sul formalismo adottato da Russell e Whitehead: esso non era una loro invenzione, ma di Giuseppe Peano, che Russell aveva incontrato, rimanendone folgorato, al Congresso internazionale di filosofia, a Parigi, nell’agosto del 1900; ecco come racconta l’avvenimento lo stesso Russell, nella sua autobiografia:
“Il Congresso fu il punto di svolta della mia vita intellettuale, perché vi incontrai Peano. Lo conoscevo già di nome e avevo visto qualche suo lavoro, ma non mi ero preso la briga di imparare il suo formalismo. Al Congresso notai che era sempre il più preciso di tutti, e che sistematicamente aveva la meglio in ogni discussione in cui si imbarcava. Col passare dei giorni, decisi che questo era l’effetto della sua logica matematica. Capii che il suo formalismo era lo strumento di analisi logica che avevo cercato per anni.”
I Principia Mathematica, comunque, non sono un testo di facile lettura, essendo pensato e scritto per specialisti del settore. Più facilmente abbordabile, anche per un lettore non esperto, è invece una sua opera precedente, I principi della matematica, che contiene in nuce i concetti espressi formalisticamente nei Principia. Per dare un esempio dell’estremo formalismo utilizzato da Russell e Whitehead, ecco la dimostrazione che 1 + 1 = 2…principia

Written by matemauro

25-05-2010 a 16:40

14 Risposte

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  1. Bene ecco un altro post che per comprenderlo e commentarlo a fondo richiederebbe una settimanetta, e un approfondimento degli stessi paradossi proposti. A memoria sul paradosso di Russell ricordo che qualcuno propose che il barbiere fosse una barbiera, e chge per questo non avesse bisogno di farsi la barba 

    E insomma chi sbarba il barbiere? E' un po' come dire chi controlla il controllore :)  E' un po' come per i problemi del millennio  ovvero i sette problemi irrisolti della matematica che ti invito ad andare a vedere su Wiki

    Buona serata

    TelemacusRadek

    25-05-2010 at 18:13

  2. …non ho ancora cenato…. non riesco a seguirti… difficile commentarti… tornerò con più calma x leggerlo… e magari non ci riuscirò uguale… ; )))buona serata…

    smilepie

    25-05-2010 at 19:48

  3. Stai ristrutturando casa?Son curiosa di vedere che combinerai…..Baciotto.

    azalearossa1958

    25-05-2010 at 22:36

  4. Il "Teorema di incompletezza" ci obbliga a considerare imperfetti tutti i sistemi assiomatici.La limitazione imposta da Gödel obbliga ad accettare la contraddizione o a superarla passando ad un sistema più ampio.La matematica non può fondarsi da sola, come proponeva Hilbert, ma necessiterebbe della Metamatematica…Un post non facile! Sei stato bravissimo nel tentativo di  rendere accessibili i contenuti. Tuttavia l'argomento è tosto!;)Bacione.

    nereide1

    25-05-2010 at 23:44

  5. Ooooops…………. lavori in corso………Ripasso….Buon proseguimento!

    azalearossa1958

    26-05-2010 at 09:55

  6. @Telemacus: sì, la barzelletta la conoscevo anch'io… Due paroline invece sui "sette problemi del millennio", che ovviamente conoscevo… o che pensavi???  Fra l'altro, i sette ormai sono diventati sei, visto che la congettura di Poincaré è stata dimostrata da Perel'man…Continuo però a pensare che i 23 problemi di Hilbert avessero tutt'altro spessore, dato che riguardavano, per lo più, i "fondamenti" della matematica; quelli dell'istituto Clay attengono a problemi molto specialistici, invece, a parte l'ipotesi di Riemann, che è presente in ambedue le serie, e della quale parlai in questo post… @Smilepie: sì, è un post che va "assunto" dopo i pasti… @Azalearossa 1 e 2: i problemi di visualizzazione di questo blog non dipendono da me, ma da Splinder, che sta "pazzeggiando"…  Le modifiche le sto facendo nel blog di prova, ovviamente! @Annarita: grazie! 

    MauroPiadi

    26-05-2010 at 10:22

  7. M'arrendo…😉

    crimson74

    26-05-2010 at 11:16

  8. Oddio, scusami, ma non ci ho capito niente… sono sempre stat scadente sia in filosofia sia in matematica

    laSusanna

    26-05-2010 at 12:05

  9. ohhhh è in arrivo un nuovo arredamento????curiosa…. : DDD

    smilepie

    26-05-2010 at 18:22

  10. Indubbiamente i tre volumi dei Principia mathematica non rappresentano "una passeggiata", soprattutto per i non addetti ai lavori! Anche secondo John Kemeny, il quale definì l'opera di Russell e Whitehead come "un capolavoro discusso praticamente da tutti i filosofi e letto praticamente da nessuno". Questa definizione mi ha ricordato la seguente di Andrea Tacquet, a proposito della grande opera del mio illustre Concittadino Archimede: "Sed illum plures laudant, quam legant; admirantur plures, quam intelligant".Questa tua avventura, Mauro, è dunque abbastanza eroica. Devo dire, però, che secondo me sei riuscito a rendere accessibile l'argomento anche ai non specialisti (se hanno la pazienza di leggere attentamente e soffermarsi sul significato delle parole).Grazie e complimenti!Un caro salutoM.I

    utente anonimo

    26-05-2010 at 19:05

  11. Quindi per ora non abbiamo né tinteggiato, né spostato pareti, e nemmeno i quadri…Attendo fiduciosa….

    azalearossa1958

    26-05-2010 at 21:19

  12. @Crimson e Susanna: lo so, lo so… infatti avevo preavvertito che occorreva un minimo di applicazione… @Smilepie e Azalearossa: calma e gesso…. c'è un punto che mi sta dando head-aching problems! @Maria: grazie, di cuore davvero! Vedi, a proposito del tuo commento precedente (antesignani e prosecutori…) il mio esempio (ovvero, quello che cerco di seguire) per quanto riguarda la divulgazione…. in realtà sono tre… Gardner, Hofstadter e Odifreddi… e m'hai detto poco! 

    MauroPiadi

    26-05-2010 at 21:37

  13. non ci ho capito una cippa….

    Francesco071966

    26-05-2010 at 23:35

  14. Preciso e chiaro, due cose che solo i grandi sanno far andare insieme.Paopasc

    utente anonimo

    28-05-2010 at 09:02


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