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Di matematica ma non soltanto…

I paradossi – 2 – le scienze

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Ricordate il filosofo con il quale abbiamo iniziato questa carrellata sui paradossi? Era il cretese Epimenide, vissuto nel VI secolo p.e.v. Circa un secolo dopo, a Elea (l’attuale Velia in provincia di Salerno) visse un altro filosofo, Zenone, della scuola eleatica appunto. Questi era davvero un bel tomo che si divertiva a creare paradossi atti a dimostrare l’inesistenza di tutto ciò che le persone normali vedono, osservano e sperimentano.

Di paradossi ne ideò una quarantina, almeno a giudicare dalle narrazioni di Platone, Aristotele e Diogene Laerzio; soltanto alcuni sono però giunti fino a noi, anche se è facile pensare che quelli perduti fossero soltanto rielaborazioni di quelli a noi noti.

Ma procediamo con ordine. Zenone era discepolo (nonché “amante”, fisico e spirituale secondo taluni storici) di Parmenide, quello che negava la possibilità del “divenire” e assolutizzava invece la presenza dell’“essere”, in opposizione a Eraclito, per il quale, al contrario, “tutto si trasforma” e “nello stesso fiume non ti bagnerai due volte” (si veda qui un mio post di molto tempo fa, a proposito di questa diatriba).

Insomma, Zenone, per dar corpo alla teoria di Parmenide sull’impossibilità del divenire, decise di dimostrare innanzitutto l’inesistenza dello spazio e del tempo e l’impossibilità del moto. Il più famoso paradosso di Zenone è sicuramente quello che riguarda pié veloce Achille e la tartaruga. In una corsa tra questi due personaggi, se Achille concede alla tartaruga un qualunque vantaggio, non riuscirà mai a raggiungerla, perché deve prima percorrere la distanza che le ha concesso di vantaggio, ma nel frattempo essa ha percorso un nuovo tratto, che Achille dovrà colmare, e così via.

L’essenza del ragionamento zenoniano è presente in forma più pura in altri due paradossi simmetrici: è impossibile sia partire che arrivare. Infatti, per arrivare in un luogo è necessario arrivare prima a metà della distanza, poi a metà del percorso rimanente, e così via. E per partire è necessario percorrere qualche distanza, ma prima si deve percorrerne la metà, e prima ancora metà della sua metà, e così via. Zenone mostrò infine che è impossibile essere in viaggio, usando anche in questo caso una efficace immagine letteraria: una freccia non può volare. Infatti in ogni istante essa è ferma, mentre il moto è una successione di movimenti.

Quest’ultimo paradosso è complementare ai tre precedenti. Mentre quelli si basano sull’infinita divisibilità di spazio e tempo, questo si appella all’indivisibilità di punti e istanti. In tal modo gli argomenti eleatici della impossibilità del moto coprivano entrambe le possibilità e permettevano di evitare assunzioni metafisiche sulla natura dello spazio e del tempo.

Questi argomenti erano ovviamente noti ad Aristotele, che nella Metafisica dichiara che non si può dimostrare o definire tutto, perché in tal caso si procederebbe all’infinito e non ci sarebbe nessuna dimostrazione o definizione. La via d’uscita proposta da Aristotele, e adottata dai matematici a partire da Euclide, è il metodo assiomatico. In termini chiarificatori: le dimostrazioni vanno basate su asserzioni non dimostrate (gli assiomi) e le definizioni su termini non definiti (le nozioni primitive).

Per quanto riguarda invece i paradossi di Zenone sulla continuità dello spazio e del tempo, Aristotele pensava che la soluzione risiedesse in una distinzione fra infinito attuale e potenziale. Nella Fisica egli sostenne infatti che l’infinita divisibilità potenziale di un segmento non è contradditoria. Solo una infinità attuale di punti non si può percorrere fisicamente. In effetti sostenne che una somma di infiniti addendi non nulli può essere finita. Ovvero, come dicono i matematici oggi, che la somma di una serie infinita può convergere ad un valore finito. E Archimede era ben riuscito a calcolare le somme di alcune serie infinite, per ottenere i suoi famosi risultati su aree e volumi, come l’area del cerchio, ad esempio.

Fu però Gregorio di San Vincenzo ad introdurre per primo, nell’Opus geometricum, il concetto di convergenza di una serie infinita come limite delle somme parziali. Egli applicò immediatamente la nuova nozione al paradosso di Zenone (quello sull’impossibilità di arrivare in qualsiasi luogo), sostenendo che l’uguaglianza

½ + ¼ + ⅛ + … = 1

ne costituiva la soluzione. La somma “finita” della serie “infinita” mostra infatti che sommando ogni volta la metà dello spazio rimanente, si arriva al traguardo, anche se gli addendi sono infiniti…

Sempre proposito di convergenza e divergenza di serie infinite non si può sottacere un “paradosso” veramente intrigante: si prenda la metà di un ramo di un’iperbole (la cui equazione è y = 1/x, prendendo la parte per x ≥ 1) e la si faccia ruotare intorno all’asse delle ascisse. La figura che così si ottiene:

tromba di torricelli

detta anche “tromba di Torricelli” o “tromba di Gabriele” ha una caratteristica davvero singolare: questo solido ha infatti un volume finito, ma una superficie esterna infinita! Il che significa, pensandolo come un recipiente, che lo si potrebbe riempire di vernice, ma non si potrebbe pitturarlo! O, pensandolo come una torta, che si potrebbe mangiarla intera, ma non a fette!

In effetti, l’infinitezza della superficie dipende dalla non convergenza della somma della serie

formula1

Mentre la finitezza del suo volume dipende dalla convergenza della somma della serie

formula2
Grazie alla tecnica del calcolo infinitesimale, che consiste nell’espandere funzioni in serie, e poi differenziarle o integrarle termine a termine, la nozione di somma infinita cessò poco a poco di essere considerata paradossale, e gradualmente si accettò l’idea che potesse corrisponderle un valore finito. Non senza discussioni, però. Le più accese delle quali furono generate dalla serie alternata

1 – 1 + 1 – 1 + …

Ridisponendo in modi diversi le parentesi, essa provoca infatti il paradosso alquanto indisponente che

0 = (1 – 1) + (1 – 1) + … = 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + … = 1

Il matematico italiano Luigi Guido Grandi andò però oltre, e dalla formula generica per ottenere la somma dei termini delle progressioni geometriche

formula3

dedusse, ponendo x = – 1, che

½ = 1 – 1 + 1 – 1 + … !

Leibniz sostenne che questo era effettivamente il vero valore della serie, sulla base del fatto che le somme parziali alternano 1 e 0, e il valore più probabile è dunque la loro media aritmetica. Un ragionamento che, giustamente, egli ammise essere più metafisico che matematico. Aggiungendo, però, che la matematica era comunque più metafisica di quanto si ammettesse…

Eulero, a sua volta, concordò sul fatto che ½ fosse il vero valore della serie, con la diversa motivazione che il ragionamento di Grandi riduceva la serie infinita ad una formula finita, e che questo era il modo corretto di dar senso alle serie infinite. Egli si lasciò però prendere la mano dall’entusiasmo e notò che, ponendo x = 2 nella formula precedente, si ottiene l’ancor più eccitante paradosso:

– 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + …

in cui la somma di infiniti numeri positivi è un numero negativo!

L’idea di Eulero di ridurre le serie infinite a formule finite era ambigua. Una stessa serie può infatti corrispondere a più formule differenti, come mostra

formula4

da cui si può dedurre il valore 1/3 per la solita serie alternata. Questi argomenti, oggi incredibili, sono naturalmente da valutare in prospettiva. I paradossi da essi generati permisero però di arrivare alla definizione precisa di somma di una serie, come limite delle somme parziali, e al convincimento che le ambiguità precedenti derivano appunto dal voler assegnare una somma definita a serie divergenti (cioè tendenti a ±∞, ovvero non tendenti a un valore fisso).

E non si pensi che i paradossi siano una peculiarità della matematica, stante il fatto che alcuni pensano che essa sia soltanto una creazione della mente. Che lo spazio sia un concetto relativo credo possiamo essere tutti d’accordo, colti e meno colti, intelligenti o meno. Siamo, però, molto meno disposti ad accettare la relatività del tempo, che fino all’Ottocento anche la scienza considerava non solo oggettivo, ma uniforme e universale. Le cose cambiarono nel 1905, quando Albert Einstein mostrò che una nozione di tempo misurata da orologi identici non può essere né uniforme, né universale.

Lo scorrere del tempo individuale di un osservatore, misurato dal suo orologio, appare infatti agli altri osservatori tanto più lento quanto più la sua velocità rispetto a essi è prossima a quella della luce. E i vari tempi individuali si possono sincronizzare soltanto parzialmente. In particolare, due eventi non legati da un rapporto causa-effetto possono apparire in un certo ordine temporale rispetto a un osservatore, e nell’ordine opposto rispetto a un altro.

Già nel suo articolo originario, Einstein si accorse che questo stato di cose genera un vero e proprio paradosso, che è forse il più noto fra tutti quelli della fisica moderna. Eccolo nella sua formulazione originaria, in Zur Elektrodynamik bewegter Körper (Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento), il lavoro che gli fruttò il premio Nobel nel 1921:

«Se si trovano in A due orologi sincroni e si muove uno di essi con velocità costante v su una curva chiusa, finché ritorna in A dopo t secondi, quest’ultimo orologio al suo arrivo in A si trova, rispetto all’orologio rimasto immobile, in ritardo di

formula5

secondi. Dunque, un orologio che si trovi all’equatore deve procedere un po’ più lentamente che un orologio, uguale e posto nelle stesse condizioni, che si trovi a un polo.»

Se si sostituiscono i due orologi con due gemelli si ottiene l’ancor più sorprendente paradosso che se uno dei due parte per un viaggio, al suo ritorno è più giovane di quello che è rimasto. Ovvero, viaggiare aiuta a mantenersi giovani.

Naturalmente, tutto dipende dalla durata del viaggio e dalla sua velocità (e per nulla, come si potrebbe invece immaginare, dalla compagnia o dal paesaggio…). Dalla formuletta di Einstein si ricava, ad esempio, che se uno dei gemelli viaggia ad una velocità (v) pari a quattro quinti di quella della luce (c), il suo viaggio dura circa un terzo di meno dell’attesa del fratello. Dopo un viaggio di quindici anni, dunque, il viaggiatore troverebbe il fratello rimasto a casa più vecchio di lui di cinque anni.

Il paradosso dei gemelli contiene un problema tecnico, per gli addetti ai lavori. Dal principio di relatività dovrebbe infatti discendere che la situazione è simmetrica per i due gemelli. Dunque anche quello che è rimasto a casa dovrebbe trovare il fratello più vecchio di lui di cinque anni. Questo problema si risolve dimostrando che in realtà i sistemi di riferimento dei due gemelli non sono equivalenti, e che le distanze spazio-temporali percorse da ciascuno nel sistema di riferimento dell’altro non sono uguali.

La dilatazione dei tempi per i viaggiatori sarà paradossale, ma non per questo è meno reale. Le conferme sperimentali sono ormai innumerevoli e dimostrano che effettivamente il tempo scorre diversamente per osservatori diversi.

Naturalmente, la dilatazione dei tempi non è l’unico effetto paradossale prodotto da un aumento di velocità fino a valori elevati. Sempre Einstein dimostrò che a velocità comparabili con quelle della luce si ha una dilatazione della massa e una contrazione della lunghezza nel senso del moto. Vale a dire che viaggiando, oltre a mantenersi giovani, si aumenta di peso, però ci si snellisce…

(2 – Fine. La puntata precedente è stata postata qui)

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Written by matemauro

11-05-2009 a 22:36

16 Risposte

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  1. Lo farei volentieri un commento, ma non capisco niente!
    Buonanotte

    cugpref

    11-05-2009 at 22:00

  2. Fa sempre piacere ripassare certe materie. Buonanotte Mauré, vado a nanna ché domani m’arzo alle 6.00!!!

    Archimede63

    11-05-2009 at 22:37

  3. Mauro, sei troppo (ancora) un professore !!!! comunque mi hai fatto tornare ai tempi del liceo (ricordo bene, 6 in matematica, 6 in filosofia…lo so, ero mediocre…)

    Francesco071966

    11-05-2009 at 22:58

  4. bravissimo, Maurè. Un signor post…one:)

    Baci e grazie
    annarita

    nereide1

    11-05-2009 at 23:19

  5. Bello!

    Ah, mi hai fatto tornare in tornare in mente tutti gli inviti alla cautela dei miei prof, soprattutto quando dovevamo maneggiare certi oggetti matematici dall’aspetto innocente o semplice…

    Un abbraccio, irrefrenabile Mauro!

    Bruno

    utente anonimo

    12-05-2009 at 09:58

  6. se “non si può sottacere”, i concetti sarebbero … “sottaceti” ??? :))

    grande divulgatore (ma questo l’ho già detto in altro post…) !

    h2no3

    12-05-2009 at 15:29



  7. :-))

    Angelesey

    12-05-2009 at 17:16



  8. :-))

    Angelesey

    12-05-2009 at 17:16


  9. Tornerò senza mela…

    tamango

    12-05-2009 at 18:38


  10. Tornerò senza mela…

    tamango

    12-05-2009 at 18:38

  11. Pensa che io credevo che sopra il ramo dell’iperbole ci crescessero quei frutti che fanno un succo spettacolare… :)))

    Pralina

    13-05-2009 at 19:23

  12. …ti risparmio le battute sulla “tromba di Torricelli”… :DDDDD

    sono una somara, lo so!

    Pralina

    13-05-2009 at 19:26

  13. Carnevale Della Matematica # 13[..] Carissimi tutti, miei alunni, amici, lettori affezionati, e naviganti della rete, sono felice di presentarvi la 13° edizione del Carnevale della Matematica, e la prima della seconda annualità! E allora parliamo un po’, tra il serio e il f [..]

    nereide1

    14-05-2009 at 03:01

  14. Carnevale Della Matematica # 13[..] Carissimi tutti, miei alunni, amici, lettori affezionati, e naviganti della rete, sono felice di presentarvi la 13° edizione del Carnevale della Matematica, e la prima della seconda annualità! E allora parliamo un po’, tra il serio e il f [..]

    nereide1

    14-05-2009 at 03:01

  15. Bravo Mauro, ora devo rileggere un paio di volte perchè al momento ho capito che per dimagrire dovrei correre alla velocità della luce, vero?
    Si ma poi voi mi portate alla tavernaccia e……………..
    Buon blogging, mauretto, grazie.

    ozne

    14-05-2009 at 08:42

  16. bel blog

    utente anonimo

    14-05-2009 at 17:56


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