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Di matematica ma non soltanto…

I paradossi – 1 – la logica, l’arte, il linguaggio

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«This was sometime a paradox, but now the time gives it proof»
«Questo un tempo pareva un paradosso, ma ora i tempi provano che è vero.»

Così afferma Shakespeare (Amleto, atto III, scena I) per bocca di Amleto a Ofelia, subito dopo il celebre monologo dell’“Essere o non essere”.

Ovviamente il sommo Bardo si riferisce all’amore, soggetto del quale in questi post dedicati ai paradossi non mi occuperò affatto… parlerò invece dei paradossi nella storia della logica, dell’arte, della matematica e, en passant, di qualche altra branca della scienza.

Cominciamo con il definire cos’è un paradosso; innanzitutto il vocabolo deriva dal greco παράδοξος, “oltre l’opinione comune”. E poiché gli individui possono anche essere intelligenti e colti, ma le masse sono sicuramente beote e ignoranti, l’opinione comune è quasi sempre sbagliata. Dunque, i paradossi sono quasi sempre pure e semplici verità, e il tempo si diverte a sollevare i lembi del velo che le nasconde. Il che significa che ambiguità, rompicapi, dilemmi, enigmi, misteri, illusioni, inganni, abbagli, sbagli, inconsistenze, contraddizioni e assurdità spesso si risolvono e, risolvendosi, si trasformano in curiosità e sottigliezze, quando non addirittura in teoremi.

Secondo il filosofo britannico Mark Sainsbury, il paradosso è «una conclusione apparentemente inaccettabile, che deriva da premesse apparentemente accettabili per mezzo di un ragionamento apparentemente accettabile».

E tale in effetti dovette apparire ai greci il primo paradosso di cui si abbia notizia certa: quello di Epimenide il cretese, il quale ebbe a dire la seguente frase:

«I cretesi sono bugiardi».

Ora, tale frase, se presa nel senso comune, non sembra pericolosa. Ma proviamo invece a intendere come “bugiardo” qualcuno che menta sempre e  per “i cretesi” tutti i cretesi; tenendo conto che Epimenide era cretese, come si risolve la questione, dato che, in quanto cretese è mentitore? In realtà questo non è un vero e proprio paradosso, risolvendosi rapidamente la questione con l’ipotesi che esista almeno un cretese che dice la verità, e costui non è certo Epidemide…

Eubulide di Megara modificò leggermente la frase di Epidemide, trasformandola in un vero e proprio paradosso. L’affermazione di Eubulide fu:

«Io sto mentendo».

La frase è vera o no? Se fosse vera, sarebbe falsa, e se fosse falsa sarebbe vera… Vera? Ma, un momento, a proposito di verità: se io scrivessi

“Questa frase è falsa”

la frase appena scritta sarebbe vera o no? Vedete bene che non se ne esce facilmente. È interessante che questo tipo di paradosso può essere creato anche a più livelli. Per esempio, è di Buridano la versione a due livelli. Secondo costui:

«Socrate afferma: “Platone dice il falso”; contemporaneamente Platone dice: “Socrate dice il vero”».

Questo è un “paradosso del mentitore” (così viene chiamato questo tipo di antinomia) a due livelli, così come quello fornito dal matematico britannico Philip Jourdain:

«“La frase seguente è falsa”
“La frase precedente è vera”».

Ma i livelli possono aumentare, fino all’infinito; è del filosofo statunitense Stephen Yablo la sequenza senza fine di frasi:

«“Tutte le frasi successive sono false”
“Tutte le frasi successive sono false”
“Tutte le frasi successive sono false”

e così via».

Come si vede, dunque, non sempre è facile distinguere tra verità e menzogna, in ambito logico… e non solo. Si pensi, per esempio, al fatto che in italiano (e in molte altre lingue) non esiste una sola parola per definire il concetto di “dire il vero”: bisogna sempre ricorrere a una perifrasi, mentre invece in tutte le lingue esiste una parola che sottintende il concetto di “mentire”…

D’altronde, di menzogne è piena la realtà quotidiana: mentono le costituzioni, che garantiscono diritti «a meno delle disposizioni di legge»; i codici, che inventano finzioni giuridiche; governanti, diplomatici e spie, per ragion di Stato; gli avvocati, per ragioni di diritto; i testimoni, pur giurando di dire «la verità, tutta la verità, nient’altro che la verità»; i giornalisti, per fare notizia o propaganda; politici, preti e commercianti, per ingannare elettori, fedeli e clienti; genitori e insegnanti, raccontando favole e miti ai bambini; i bambini, per tacitare genitori ed insegnanti; donne e uomini, truccandosi per sembrare più giovani; coniugi e amanti, per tradire sembrando fedeli; gli sportivi, drogandosi per vincere; e così via.

Il popolo yiddish (gli ebrei della diaspora) sa benissimo quando e come conviene mentire; questa è una storiella narrata da Siegmund Freud, ripresa in seguito da Jorge Luis Borges e riportata recentemente anche da Moni Ovadia:

«Due commercianti, Moshe e Daniel, nel mezzo della sconfinata pianura russa, si salutano:
– Dove vai, Daniel? – dice uno.
– A Sebastopoli – dice l’altro.
Allora Moshe lo guarda negli occhi per qualche istante e poi esclama:
– Tu stai mentendo, Daniel. Mi dici che vai a Sebastopoli perché io pensi che tu vada a Nižnij-Novgorod, ma la verità è che tu vai davvero a Sebastopoli. Tu menti, Daniel!»

Fu già nel Medioevo, comunque, che si capì come poter risolvere il paradosso del mentitore: ci aveva provato, in realtà, già Aristotele nella Metafisica, affermando che le frasi contraddittorie non sono “ben formate”; la sua soluzione, però, non è totalmente soddisfacente, come dimostrò Willard Quine, creando una frase “ben formata” che continuava a essere contraddittoria.

Fu poi la volta di diversi autori, che tentarono di distinguere tra “uso” e“menzione”. Per chiarire, prendiamo le due frasi:

Un monosillabo consiste di sei sillabe.
“Un monosillabo” consiste di sei sillabe.

Nella prima (falsa) si “usano” le parole “Un monosillabo”, nella seconda (vera) se ne fa “menzione”. Ma sempre Quine riuscì a costruire (con un procedimento analogo a quello di Gödel, di cui ho parlato in questo post) una frase con “menzione” che conteneva un paradosso.

La soluzione corretta, invece, è quella di Guglielmo di Occam, nella Summa Logicae, il quale sostiene che, quando una frase parla di verità e di falsità, può soltanto riferirsi ad altre frasi, e non a se stessa. La soluzione di Occam è importante, perché introduce la nozione di “diversi  livelli” nel linguaggio, dove ogni meta-linguaggio parla di verità o falsità di frasi che stanno a un livello “inferiore” (analogamente a ciò che deriva, per la matematica, dalle considerazioni di Gödel).

Una soluzione diversa è quella di imputare i problemi non al linguaggio, ma alla logica che a esso sottintende. Questa considerazione ha portato all’introduzione di logiche di tipo non binario (nelle quali gli unici valori ammissibili sono “vero” e “falso”): e così sono state inventate delle logiche “a più valori” (del tipo “sì”, “no”, “ni”), “temporali” (il valore di verità dipende dal tempo), “costruttive” (in cui non è possibile dimostrare la disgiunzione di due proprietà senza poterne dimostrare una delle due) ecc.

Il bello di questi paradossi logici è che essi possono essere realizzati anche in ambito artistico; cos’è se non l’analogo del “paradosso del mentitore” questo quadro di René Magritte?

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Ancora in ambito figurativo, un “quasi” paradosso è questo disegno di M.C. Escher:

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Per essere un vero e proprio paradosso, sarebbe più corretto che una mano cancellasse mentre l’altra disegna…

Oppure, in ambito musicale, John Cage che affermò di non aver nulla da dire e lo disse con un brano (per pianoforte…) di 4’33” di totale silenzio?

E ancora, in ambito letterario, Denis Diderot che scrive un racconto dal titolo Questo non è un racconto, non sta esprimendo in altra forma il paradosso del mentitore?

In genere, quando gli artisti moderni si esprimono in questi termini, si dà loro degli squilibrati. Proprio in questo senso investigò lo psicologo statunitense Gregory Bateson. Questi introdusse il concetto di “doppio vincolo”, in riferimento al paradosso espresso dalla seguente storiella:

«In una caserma, il colonnello chiama a sé il barbiere (un soldato semplice) e gli dà il seguente ordine perentorio:
– Da oggi in poi, dovrai radere tutti coloro che non si radono da soli!»

Oltre all’ordine paradossale, gli elementi fondamentali aggiuntivi sono il rapporto di rigida subordinazione del soldato all’ufficiale e l’impossibilità di uscire dalla contraddizione mettendo in discussione la consistenza dell’ordine stesso. Secondo Bateson, è appunto l’esposizione a doppi vincoli di questo genere che provoca in chi li subisce, soprattutto da bambino in famiglia o in collegi, un’incapacità di distinguere fra linguaggio e metalinguaggio, e la conseguente schizofrenia.

Le vie d’uscita patologiche da questa situazione di stress, secondo Bateson, sono tre:

a) L’ebefrenia, in cui si rifiuta il metalinguaggio e ci si limita all’aspetto puramente letterale della comunicazione. Un esempio di questo atteggiamento è quello del protagonista del romanzo Il buon soldato Švejk di Jaroslav Hašek (che ho ricordato in questo post), che interpreta tutti gli ordini, per quanto insensati, in maniera letterale.

b) La paranoia, in cui si rifiuta il linguaggio e ci si dedica alla continua ricerca di significati reconditi al di là di esso. Un esempio simmetrico al precedente è quello del protagonista del film Comma 22 di Joseph Heller, che interpreta tutti gli ordini, per assurdi che siano, in maniera metaforica.

c) La catatonia, in cui si rifiutano entrambi i livelli precedenti e ci si chiude alla comunicazione nell’inattività, fino all’autismo, o nell’iperattività. È infatti un apparente paradosso che chi è troppo occupato non ha, appunto, il tempo di far niente. In particolare, di stare a sentire gli altri.

Ma tutti questi “paradossi” sono strettamente legati alla nostra filosofia occidentale. In Oriente, dove la logica seguì fin dall’inizio altre strade, il paradosso è stato pienamente accettato ed è addirittura divenuto la base di filosofie come il taoismo e il buddismo.

Lao Tze apre il Tao Tze Ching, primo classico del taoismo, con l’affermazione: «Il Tao di cui si parla non è il vero Tao». E lo conclude dicendo: «Chi sa non parla, chi parla non sa». Naturalmente, ciò che sta in mezzo procede sullo stesso tono: «La verità è paradossale». Con queste premesse, cercare di capire positivamente cosa sia il Tao è impossibile, essendo esso indicidibile ed ineffabile. Dunque, invece di trattati filosofici, il taoismo ha prodotto raccolte di aforismi e aneddoti, con l’intento di mostrare con esempi ciò che non si può esprimere con parole, dato che non si può distinguere la realtà dal sogno, e dunque neppure la verità dalla falsità. Anzi, non si può distinguere proprio niente, come dichiara esplicitamente il titolo di un capitolo: “L’uguaglianza di tutte le cose”.

Su queste premesse, il taoismo sviluppò un pensiero che considerava gli opposti non contradditori, come nella logica occidentale, ma complementari. Il Tao fu identificato con la loro combinazione, vista come metafora dell’incessante avvicendarsi delle stagioni e delle vite, e venne rappresentato con il t’ai-chi, “trave maestra”, simbolo dell’unione di yin e yang (l’elemento maschile e quello femminile):

yin yang

I taoisti hanno inventato la tecnica del koan (letteralmente “avviso pubblico” o “ordinanza di legge”), che dall’esterno appare come una vera e propria insensatezza (e, magari, lo è per davvero). Il suo scopo è quello di stimolare il raggiungimento dell’illuminazione presentando problemi paradossali che, non potendosi risolvere secondo la logica convenzionale, dovrebbero cortocircuitare il pensiero razionale. Ecco alcuni famosi koan:

«Che suono fa un applauso a una mano sola?»

«Che faccia avevi prima di essere concepito?»

«Un cane ha la natura di Budda?»

«Se sei così libero, perché hai tutti questi impegni?»

«Rispondi a questa domanda!»

Inutile dire che, se non ci si pensa, non si arriva alla risposta. E se ci si pensa, nemmeno. Se però si arriva ugualmente a una risposta, è sbagliata. E chi dice che ha capito, non ha capito. Insomma, non c’è via d’uscita, se non quella di accettare che ci siano domande senza risposta. Il che, toh!, è anche uno dei grandi risultati della logica moderna.

(Fine 1ª parte)

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Written by matemauro

07-05-2009 a 19:26

24 Risposte

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  1. Tutto molto complicato ma così bello ed interessante. La logca resta comunque una disciplina difficile da spiegare a meno che non si tenti con il sistema napoletano dell’acquario hahahahahahah!!
    Bel post, Mauro, grazie.
    Dimenticavo, prepara la penna perchè il libro è arrivato. L’ho letto a moglie e figlia che sono rimaste piacevolmente sorprese. Anzi Alessia vorrebbe inserire qualcosa, Mauro permettendo s’intende, in un prossimo spettacolo romano. Vedi quello che combini? hahahahah!!
    Ciao, a presto.

    ozne

    07-05-2009 at 19:35

  2. sei un gran bel divulgatore 🙂 complimenti !

    abbraccione !
    c.

    h2no3

    07-05-2009 at 20:27



  3. Baci**

    Angelesey

    07-05-2009 at 21:22



  4. Baci**

    Angelesey

    07-05-2009 at 21:22

  5. La tua risposta la troverai solo dentro di te… ma, è, però… SBALIATAAAAA!!!!

    Pralina

    07-05-2009 at 21:51

  6. Superbo, Maurè! Bravooooo!

    La seconda parte puoi postarla anche entro il 12-13. Dai cerca di riuscirci.

    Baci
    annarita

    nereide1

    07-05-2009 at 22:19

  7. no i paradoxi nooooo…. kiedo pietas :))

    phederpher

    07-05-2009 at 22:26

  8. ciao maurooooooooooo

    stefanomassa

    07-05-2009 at 22:29

  9. I para-dossi sono quei dispositivi per proteggersi… dai… no eh? mmm…

    Pralina

    07-05-2009 at 22:30

  10. Interessantissimo alle cinque di mattina!
    Questi sono gli argomenti che più mi piacciono…
    E quanto è vero che noi occidentali siamo dei… paradossi!!!!

    mircomirco

    08-05-2009 at 04:41


  11. Per ora solo il mio buongiorno. Perchè? Lo sai, odio i post lunghi!
    😉 Ta ta tà, ta tà!

    tamango

    08-05-2009 at 08:38


  12. Per ora solo il mio buongiorno. Perchè? Lo sai, odio i post lunghi!
    😉 Ta ta tà, ta tà!

    tamango

    08-05-2009 at 08:38

  13. lo stampo e lo leggo con calma.
    certo che tu con i rompicapo eh…
    già la mia testa è quella che è,
    sono curiosa e, quindi, leggerò,
    poi altro che farfalla:-)))

    fiorirosa

    08-05-2009 at 12:47

  14. Affascinante.Sarà per quello che dice Bateson che sono un ebefrenico un po’ paranoico che si sveglia ogni mattina catatonico (prima del caffè)?

    ofvalley

    08-05-2009 at 16:21

  15. romanticaperla

    08-05-2009 at 17:48

  16. Confusa mi sento confusa.
    Per il resto, boh !
    E non dico bugie.

    cugpref

    08-05-2009 at 21:03

  17. Sei esemplare!

    Bruno

    Bierreuno

    11-05-2009 at 12:44

  18. Sei pazzo e io pure!

    tamango

    12-05-2009 at 13:00

  19. tamango

    12-05-2009 at 13:09

  20. tamango

    12-05-2009 at 13:09

  21. Carnevale Della Matematica # 13[..] Carissimi tutti, miei alunni, amici, lettori affezionati, e naviganti della rete, sono felice di presentarvi la 13° edizione del Carnevale della Matematica, e la prima della seconda annualità! E allora parliamo un po’, tra il serio e il f [..]

    nereide1

    13-05-2009 at 23:22

  22. Carnevale Della Matematica # 13[..] Carissimi tutti, miei alunni, amici, lettori affezionati, e naviganti della rete, sono felice di presentarvi la 13° edizione del Carnevale della Matematica, e la prima della seconda annualità! E allora parliamo un po’, tra il serio e il f [..]

    nereide1

    13-05-2009 at 23:22

  23. me la cavo meglio nei paradossi d’amore.

    gattarandagia

    14-05-2009 at 16:00

  24. Anonimo

    02-12-2010 at 13:10


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