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Di matematica ma non soltanto…

Goerge Polya

with 13 comments

Polya

György Pólya, noto come George (Budapest, 13 dicembre 1887 – Palo Alto, 7 settembre 1985), è stato un matematico svizzero-statunitense di origine ungherese.

Da giovane non è interessato alla matematica, e i suoi voti sono appena sufficienti. È strano che una persona che spenderà la sua vita in tanti e diversi rami della matematica non ne sia rimasto affascinato ai tempi della scuola. La ragione si può attribuire al metodo con il quale gli viene impartito l’insegnamento: due dei tre insegnanti di matematica che ha avuto al ginnasio vengono da lui stesso definiti despicable (spregevoli).

Nel 1905 entra all’università; dapprima si iscrive a giurisprudenza, poi a lingua e letteratura, quindi a filosofia e, su consiglio di un professore, segue alcuni corsi di matematica e fisica. Alla fine decide di intraprendere la carriera di matematico, pensando di non essere abbastanza bravo per la fisica e di esserlo troppo per la filosofia.

Si laurea in matematica nel 1912 e si dedica subito all’insegnamento, vagando per diverse università europee. Allo scoppio della I guerra mondiale si trova a Zurigo e, essendo pacifista, si rifiuta di tornare in patria per essere arruolato (verrà considerato disertore dalle autorità ungheresi fino alla sua morte). Sposando una cittadina svizzera ottiene la nazionalità elvetica. Negli anni tra le due guerre continua a vagabondare per l’Europa. All’avvento del nazismo, temendo per la propria sorte in Europa (è di origine ebraica), decide di emigrare negli Stati uniti.

Nel 1953 lascia l’insegnamento, ma continua a occuparsi di didattica e di educazione matematica. Tra i suoi libri, quello di cui andò più fiero è How to solve it, tradotto in decine di lingue e pubblicato in milioni di esemplari. È difficile trovare un testo di euristica moderna che non vi faccia riferimento. La tecnica del problem solving, ancora oggi oggetto di studi e di applicazioni, è entrata nella pratica comune dell’insegnamento della matematica.

Il testo è una raccolta di note didattiche, a volte leggere e umoristiche, a volte profonde e serie, presentate in una sorta di zibaldone ricco di osservazioni, consigli, esempi visti dalla parte dell’insegnante e degli studenti. Lo stile è un po’ retorico e didascalico, tipica della metà novecento, ma la metodologia e la pratica didattica proposte sono invece sorprendentemente in anticipo sui tempi.

Per esempio, ecco, secondo Pólya, le quattro fasi della risoluzione di ogni tipo di problema:

1. Si deve comprendere il problema; è necessario capire chiaramente cosa viene richiesto.
2. Si devono scoprire i legami che intercorrono tra le diverse informazioni, fra ciò che si cerca e i dati, per rendersi conto del tipo di risoluzione e compilare un piano conveniente.
3. Si procede allo sviluppo del piano.
4. Bisogna esaminare attentamente il risultato ottenuto e procedere alla sua verifica e discussione.

1. Sulla comprensione del problema
Lo studente dovrebbe capire il problema e, di più, dovrebbe desiderare di conoscerne la soluzione. Non è sempre tutta colpa dell’alunno se questa comprensione e questo desiderio mancano; i problemi dovrebbero essere scelti con cura, né troppo difficili, né troppo facili, semplici ed interessanti; e spesso essi dovrebbero essere rappresentati in forma gradevole, piana ed atta a risvegliare la curiosità dei giovani.

2. Sulla compilazione di un piano
La compilazione di un piano è l’impresa più ardua. Il miglior aiuto che un insegnante possa dare ai suoi allievi consiste nell’ispirare loro delle brillanti intuizioni mediante un’assistenza discreta, mediante domande e suggerimenti.

3. Sullo sviluppo del piano
L’insegnante farà bene ad insistere affinché gli studenti procedano alla verifica di ogni passaggio. Dell’esattezza di un passaggio ci si può convincere "intuitivamente" o "formalmente". Comunque è indispensabile che l’alunno sia seriamente convinto dell’esattezza di ciascun passaggio.

4. Sulla verifica
Nessun problema di matematica può essere considerato definitivamente chiuso. Resta sempre qualcosa da dire sopra di esso; con uno studio e un’applicazione accurati, si può perfezionare qualunque risoluzione e, in ogni caso, si può sempre giungere a una più profonda comprensione del risultato.

Un altro brano significativo:

L’indagine intuitiva e la verifica formale sono due modi distinti di convincersi delle verità, paragonabili alla percezione di un oggetto materiale fornita da due sensi diversi, quali la vista e il tatto.

L’indagine intuitiva può portare più innanzi della prova formale. Ogni studente di vivace intelligenza, anche se sprovvisto di una sistematica conoscenza della geometria solida, può vedere che due rette parallele a una stessa retta sono parallele tra loro (le tre rette non sono necessariamente complanari) non appena abbia compreso il significato dei vocaboli. Eppure la dimostrazione di questa proposizione, così come è svolta nel libro XI degli Elementi di Euclide, esige una profonda, accurata e specifica preparazione.

A sua volta la manipolazione formale di regole di logica e di formule algebriche può condurre più lontano dell’intuizione. Quasi tutti vedono subito che tre rette prese a caso sopra un piano dividono questo in sette regioni, ma pochi sono in grado di riconoscere altrettanto speditamente, sia pure concentrando intensamente la propria intenzione sull’enunciato, che cinque piani presi a caso dividono lo spazio in ventisei regioni: tuttavia ciò segue da una dimostrazione rigorosa, che però non è lunga né difficile.

Dimostrare formalmente ciò che si vede intuitivamente e vedere intuitivamente ciò che è dimostrato formalmente costituiscono un corroborante esercizio mentale.

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Written by matemauro

13-12-2008 a 21:57

Pubblicato su matematica, polya george, scienza

13 Risposte

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  1. Bel post, Mauro! Cade a fagiuolo per i miei discoli di seconda con i quali in settimana dovrò iniziare la trattazione dei problemi sull’equivalenza delle figure piane.

    Come non condividere il pensiero di Polya sulle quattro fasi della risoluzione di un problema? Il problem solving insieme al problem posing sono i cardini su cui si fonda l’approccio ai problemi.

    Dimostrare formalmente ciò che si vede intuitivamente e vedere intuitivamente ciò che è dimostrato formalmente costituiscono un corroborante esercizio mentale.

    D’accordissimo!!! Il dimostrare formalmente ciò che si vede intuitivamente è lo scoglio con cui si misurano i miei alunni, che hanno un’età compesa tra gli 11 e i 14 anni.

    Grazie, Mauro. Se non hai nulla in contrario, lo posterei integralmente su Matem@ticaMente.

    baci
    annarita

    nereide1

    13-12-2008 at 22:50

  2. Il mio primo insegnante di matematica era severissimo e …di sinistra, ma questo non c’entra, e siccome essere di sinistra fa “tendenza” lo cito, un giorno per rimproverare la scolaresca che masticava chewingum disse : -Cos’è tutto questo scimmiottismo americano”?- Comunque a farmi amare la matematica e la ringrazio ancora è stata una donna, si chiamava Felicetta.
    Simpatico Polya mi pare che mi conosca visto che cita un mio modus vivendi “L’indagine intuitiva e la verifica formale sono due modi distinti di convincersi delle verità, paragonabili alla percezione di un oggetto materiale fornita da due sensi diversi, quali la vista e il tatto”.;-)
    Grazie a te di avermelo fatto conoscere.
    Notte!

    tamango

    14-12-2008 at 00:46

  3. Il mio primo insegnante di matematica era severissimo e …di sinistra, ma questo non c’entra, e siccome essere di sinistra fa “tendenza” lo cito, un giorno per rimproverare la scolaresca che masticava chewingum disse : -Cos’è tutto questo scimmiottismo americano”?- Comunque a farmi amare la matematica e la ringrazio ancora è stata una donna, si chiamava Felicetta.
    Simpatico Polya mi pare che mi conosca visto che cita un mio modus vivendi “L’indagine intuitiva e la verifica formale sono due modi distinti di convincersi delle verità, paragonabili alla percezione di un oggetto materiale fornita da due sensi diversi, quali la vista e il tatto”.;-)
    Grazie a te di avermelo fatto conoscere.
    Notte!

    tamango

    14-12-2008 at 00:46

  4. la matematica è la cosa più importante (dopo la vita) che devo a mio padre e a mia madre !

    insegnanti incapaci di insegnare (qualsiasi materia, non solo matematica) ne ho incontrati parecchi, purtroppo ! ma sono bastati pochi invece capacissimi a farmi amare la materia che amo (fra questi il prof. Modesto Dedò e il prof. Lucio Lombardo Radice)

    grazie per queste tue “perle” storiche

    p.s. off-topic: credo che lo siamo tutti, ma dovremmo rendercene conto e agire di conseguenza…

    h2no3

    14-12-2008 at 12:27

  5. Penso proprio che sia un testo interessante da leggere. Io probabilmente non l’ho mai riconosciuto ai tempi della scuola, ma non ho mai considerato la matematica che mi veniva chiesto di risolvere, alla luce dei punti che hai descritto. In verità ho sempre avuto buoni insegnanti della materia, ai quali mancava però un pò di sana passione nello spiegarla. Te per esempio mi fai incuriosire di matematica, più di quanto abbiano fatto loro in tanti anni, ma forse sono più disposto anche io con l’età ad accogliere certe nozioni e a vedere le cose da certe angolazioni che da giovani non sempre ci appartengono. Un abbraccione e Buona Domenica Mauro!

    hettori

    14-12-2008 at 14:34

  6. ….purtroppo come tu sai,io non ho le basi della matematica!…ahimè…. buona domenica

    lateresa

    14-12-2008 at 16:07

  7. Che figura, vero?

    Grazie, Mauro, sempre grazie!

    Bruno

    Bierreuno

    14-12-2008 at 17:35

  8. La matematica è una materia affascinante che non finisce mai di stupire. bel post, caro prof., da riproporre con altro illustre personaggio. Ciao, Enzo.

    ozne

    14-12-2008 at 19:38

  9. Allora le vocazioni tardive esistono! Ho speranza…
    Ciao Mauro

    miettapuntox

    14-12-2008 at 19:55

  10. ciao. BRRRRRRR. La matematica è stata sempre un incubo per me, che ci vuoi fare, mi rendo conto ora che è una materia bellissima, ma non ci ho mai capito niente, vedi se ci fosse stato il pc allora, avrei avuto tanti prof in gamba.
    Comunque mi inchino davanti a un uomo così importante. abbraccione penny

    penny46

    14-12-2008 at 20:35

  11. moooltoo interessenate! A dimostrazione del fatto che conta poco la scuola, nel senso che se si ha volontà e capacità comunque si riesce e si può diventare grandi!

    T3rminator

    15-12-2008 at 21:36

  12. Pólya[..] Cari ragazzi e cari lettori, segnalo un post di Mauro Piadi sul grande Polya. Scrive Mauro: György Pólya, noto come George (Budapest, 13 dicembre 1887 – Palo Alto, 7 settembre 1985), è stato un matematico svizzero-statunitense di or [..]

    nereide1

    12-01-2009 at 22:23

  13. Pólya[..] Cari ragazzi e cari lettori, segnalo un post di Mauro Piadi sul grande Polya. Scrive Mauro: György Pólya, noto come George (Budapest, 13 dicembre 1887 – Palo Alto, 7 settembre 1985), è stato un matematico svizzero-statunitense di or [..]

    nereide1

    12-01-2009 at 22:23


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